המטה האמצעי

 מאת: אורן סעיד

מטה אהרון הונח באמצע המטות של שאר השבטים. נחלקו הפרשנים במספר סך הכול המטות שהונחו.

בפרשתנו אנו קוראים על ציווי ה', לקחת  שנים עשר מטות משנים עשר השבטים, ובתוכם המטה של אהרן הכהן - משבט לוי:  "וַיְדַבֵּר משֶׁה אֶל בְּנֵי יִשְׂרָאֵל וַיִּתְּנוּ אֵלָיו כָּל נְשִׂיאֵיהֶם מַטֶּה לְנָשִׂיא אֶחָד מַטֶּה לְנָשִׂיא אֶחָד לְבֵית אֲבֹתָם שְׁנֵים עָשָׂר מַטּוֹת וּמַטֵּה אַהֲרֹן בְּתוֹךְ מַטּוֹתָם" (יז, כא).  מבאר רש"י: "בתוך מטותם - הניחו באמצע, שלא יאמרו מפני שהניחו בצד שכינה פרח" (שם). כך גם מתרגם בתרגום יונתן: "וּמַטֵּה אַהֲרֹן בְּתוֹךְ מַטּוֹתָם - וְחוֹטֶר אַהֲרן בִּמְצִיעוּת חוּטְרֵיהוֹן" (שם), שמטה אהרון הונח באמצע המטות. מקור דברי רש"י הוא במדרש תנחומא: "בְּתוֹךְ מַטּוֹתָם – הִנִּיח בְּאֶמְצַע; שֶׁלֹּא יֹאמְרוּ: מִפְּנֵי שֶׁהִנִּיחוֹ בְּצַד שְׁכִינָה פָּרַח" (מדרש תנחומא אחרי מות ח). לפי פירושים אלו, מטה אהרון הונח באמצע מטות השבטים[1].

כמה מטות הונחו? קיימת מחלוקת בין המפרשים האם היו 12 מטות או 13 מטות, כפי שמסכם המלבי"ם: "וצווהו לקחת 12 מטות, ובזה נחלקו המפרשים, יש אומרים[2] שהיו 12 מטות חוץ משבט לוי, ויש אומרים[3] שהיו עם שבט לוי, ולפי זה צריך לומר, שבית יוסף היו למטה אחד, ולא לקחו מטה רק מאפרים כי ידעו מברכת יעקב שלא יבחר במנשה נגד אפרים" (במדבר יז, יז). המלבי"ם מבאר, שיש אומרים שהיו 13 מטות עם שבט לוי, ויש אומרים שהיו סך הכל 12 מטות עם שבט לוי; ולשיטה זו צריך לומר, שמהשבטים מנשה ואפרים, בני יוסף,  לקחו רק מטה אחד, של שבט אפרים.

מטה אהרון באמצע המטות.

על פי המדרש, משה לא לקח מטה אחד מכל שבט, אלא לקח מטה אחד וחתך אותו ל-12 חתיכות[4]: "ואית דאמרי (=יש אומרים) נטל משה קורה אחת וחתכה לשנים עשר נסרים ואומר להם כולכם מקורה אחת טלו מקלכם" (במדבר רבה, פרשת יח אות כג). 

לשיטות הסוברים שהיו 13 מטות אזי מטה שבט לוי - מטה אהרון  היה המטה השביעי, בדיוק באמצע בין מטות השבטים. לשיטות הסוברים שהיו 12 מטות – היכן הונח מטה אהרון?

במתמטיקה, סדרה חשבונית היא סדרה של מספרים, שבה ההפרש בין כל שני איברים עוקבים הוא קבוע. לדוגמה, בסדרה: 3, 5, 7, 9, 11, 13, ..., ההפרש בין כל שני איברים עוקבים הוא מספר קבוע, במקרה זה 2. בסדרה חשבונית, כל איבר (פרט לאיברים שבקצוות) מהווה ממוצע חשבוני של האיבר הקודם והאיבר העוקב לו, ומכאן שְׁמָהּ[5].

מהו האיבר האמצעי בסדרה חשבונית[6] ? 

במקרה שיש בסדרה מספר אי-זוגי של איברים, האיבר האמצעי הוא האיבר שנמצא באמצע הסדרה. לדוגמא, בסדרה שיש בה 5 איברים: 3, 5, 7, 9, 11, האיבר האמצעי הוא 7, כי הוא נמצא באמצע הסדרה, במקום השלישי. 

במקרה שיש בסדרה מספר זוגי של איברים, ישנם שני איברים אמצעיים: האיבר שנמצא במקום של מספר האיברים בסדרה חלקי 2, והאיבר הבא אחריו. לדוגמא, בסדרה שיש בה 4 איברים: 2,4,6,8, שני האיברים האמצעיים הם: 4  - כי האיבר 4 נמצא במקום השני (מספר האיברים בסדרה הוא 4, לחלק ל- 2,  התוצאה 2=האיבר השני), והאיבר הבא אחריו - במקום השלישי: 6. 

לפי זה אולי נוכל לומר, שלפי הדעה שהיו 12 מטות סך הכול, אז מטה אהרון הונח באמצע: או שהיה המטה השישי (מספר המטות הוא 12, לחלק ל- 2, התוצאה 6=המטה השישי) או המטה השביעי (המטה הבא אחריו).

אמצע גן עדן

בדרך אגב לנושא המטה האמצעי, נעסוק במקום נוסף, בו רש"י ציין שמדובר ב"אמצע". בספר בראשית התורה מספרת לנו על מיקום עץ הדעת ועץ החיים בגן עדן: "וְעֵץ הַחַיִּים בְּתוֹךְ הַגָּן וְעֵץ הַדַּעַת טוֹב וָרָע" (בראשית ב, ט). רש"י מבאר שעצים אלו היו האמצע גן עדן: "בתוך הגן - באמצע הגן" וכן תרגם אונקלוס: "בתוך הגן - בִּמְצִיעוּת גִּינְתָא [=באמצע הגן]" (שם).

הרד"ק מבאר שעצים אלו היו באמצע הגן, כי שם הם נשמרים יותר: "ועץ החיים בתוך הגן ועץ הדעת טוב ורע. בתוך - כתרגומו: 'בִּמְצִיעוּת גִּינְתָא' (תרגום אונקלוס); והדבר יהיה נשמר יותר באמצע המקום, מפני שהדברים שהם סביביו יהיו כחומה לו; והדבר החביב והנאהב לאדם - ישימנו בתוך הדברים האחרים, כדי שיהיו לו חומה ומשמרת" (שם).

הרמב"ן מבאר שהיתה ערוגה אחת באמצע הגן בה גדלו עץ הדעת ועץ החיים: "וְעֵץ הַחַיִּים בְּתוֹךְ הַגָּן וְעֵץ הַדַּעַת טוֹב וָרָע - בעבור שאמר הכתוב וְעֵץ הַחַיִּים 'בְּתוֹךְ הַגָּן' ולא אמר "בגן" ועוד שאמר (להלן ג, ג) 'וּמִפְּרִי הָעֵץ אֲשֶׁר בְּתוֹךְ הַגָּן אָמַר אֱלֹהִים לֹא תֹאכְלוּ' שלא הזכירו ולא הודיעו בשם אחר, נאמר לפי פשוטו שהוא מקום ידוע בגן שהוא בתוך ולכך תרגם אונקלוס 'בִּמְצִיעוּת גִּינְתָא'; והנה לדבריו, עֵץ הַחַיִּים וְעֵץ הַדַּעַת שניהם היו באמצע, ואם כן נאמר שהוא כאלו תעשה באמצע הגן ערוגה אחת סוגה ובה שני האילנות האלה ויהיה האמצע הזה אמצע רחב, כי אמצע הדק כבר אמרו שאין יודע בו אמיתת הנקודה בלתי השם לבד" (בראשית ב, ט).

אנו לא יודעים מה היתה הצורה של גן עדן בשביל לדמיין מהו בדיוק אמצע גן עדן. בדרך אגב לפירוש, שעץ החיים ועץ הדעת היו במרכז גן עדן, נציין בקצרה, את הדרכים למציאת נקודות אמצע של מספר צורות גיאומטריות פשוטות.[7]

מעגל: את מרכז המעגל ניתן למצוא באמצעות שרטוט 2-3 קווים ישרים המחברים בין שתי נקודות של מעגל ולא עוברים במרכז המעגל. מדידת האמצע  של כל אחד מהקווים באמצעות סרגל. לאחר מכן לצייר את האנך מנקודת האמצע של כל אחד מהישרים. נקודת המפגש של האנכים הוא מרכז המעגל.[8]

מקבילית: בכל מקבילית (כולל ריבוע, מלבן ומעויין), נקודת המרכז היא נקודת מפגש האלכסונים. לפי משפטי גיאומטריה בסיסיים: אם שני זוגות של צלעות נגדיות שוות ומקבילות, אז האלכסונים חוצים זה את זה. נקודת מפגש האלכסונים היא הנקודה היחידה שמחלקת את כל הצורה לארבעה משולשים חופפים ולכן זו נקודת המרכז הגיאומטרי של המקבילית[9].

---

[1] אבל תרגום אונקלוס תירגם: "בְּתוֹךְ מַטּוֹתָם - בְּגוֹ חוּטְרֵיהוֹן". לפי תרגום זה, מטה אהרון לא הונח בדיוק באמצע, אלא בתוך המטות, כפי שפירש רבי אליהו מזרחי את תרגום אונקלוס: "בתוך מטותם - הניחו באמצע, שלא יאמרו, מפני שהניחו בצד השכינה פרח. אבל אונקלוס לא תרגמו 'בִּמְצִיעוּת חוּטְרֵיהוֹן', כמו שתרגם "בְּתוֹךְ הַגָּן - בִּמְצִיעוּת גִּינְתָא" (בראשית ב, ט), אלא "בְּגוֹ חוּטְרֵיהוֹן" (במדבר יז, כ), מפני שמלת תוך בכל מקום מורה על תוך הגבול או הגבולים המקיפים בתמונה השטחית או הגשמית, לא על הנקודה האמצעית שבה. ותרגומה בלשון ארמית 'גוֹ', כי תרגום "בְּתוֹךְ הָעִיר -  בְּגוֹ קַרְתָּא" (בראשית יח, כד), ותרגום "אֶל תּוֹכוֹ -  לְגַוֵּיהּ" (ויקרא יא, לג) ותרגום "בְּתוֹךְ הַיָּם -  בְּגוֹ יַמָּא" (שמות יד, כז) אף כאן "בְּתוֹךְ מַטּוֹתָם - בְּגוֹ חוּטְרֵיהוֹן" (שם), אבל גבי 'בְּתוֹךְ הַגָּן', שאי אפשר לפרשו כמשמעו, שאם כן לא היה צריך לכותבו, כי כבר כתוב 'וַיַּצְמַח ה' אלוקים מִן הָאֲדָמָה' (בראשית ב, ט), שפירושו מאדמת הגן, הוכרח לתרגם אותו 'בִּמְצִיעוּת גִּינְתָא', שפירושו על הנקודה האמצעית שבכאן [שבגן], וכן פירש רש"י שם 'בְּתוֹךְ הַגָּן - באמצע, (שם). ואפשר שרש"י ז"ל מצא פה אגדה שפרשה: הניחו באמצע, ולפיה פירשו כן, לא שמלת בתוכם מורה על זה" (יז, כא).

[2] המפרשים הסוברים שהיו 13 מטות: פירוש העמק דבר (במדבר יז, יז), פירוש "זבד טוב" פרשת קורח.

[3] המפרשים הסוברים שהיו 12 מטות: רמב"ן (במדבר יז, יז), רבי אברהם אבן עזרא (במדבר יז, כ), אור החיים (במדבר יז, יח) ועוד.

[4] וכך גם פירש האור חיים: "ואת שם אהרן תכתוב על מטה לוי וגו'. ממה שלא צוה מקודם, לקחת מטה למטה לוי, יגיד כי הוא בכלל הי''ב מטות, שאמר בסמוך שנים עשר מטות ומטה לוי בכלל הי''ב, ואפשר לומר שככה עשו, שלקחו עץ אחד וחלקוהו לי''ב חלקים, וכל שבט לקח שיבא מכשורא, ואין הפרש בין של אהרן לשל כולן, שבזה יצדק המבחן, ובזה ידוייק מאמר הכתוב ויתנו אליו כל נשיאיהם וגו' ומטה אהרן בתוך מטותם, פירוש חלק א' מתוך העץ שממנו לקחו מטותם" (שם, יח).

[5] פרקי מתמטיקה, יח' 09-07, יחידות 7-9. האונ' הפתוחה בישראל, 1977,  יחידה 8 - סדרה חשבונית, עמ' 12-16.

[6] Class X Mathematics CBSE Reference Material: Class X Mathematics‏. (2023). (n.p.): ‪Vidhathri Academy‏. Page 86.

[7] לנקודת המרכז של משולש מספר הגדרות  ולכן לא נעסוק בו במסגרת מאמר זה. על נקודת המרכז של משולש ראה במקור הבא:

‪Ryan‏, ‪M‏., ‪Arnone‏, ‪W‏. (2008). ‪Geometry For Dummies‏. Britain: ‪Wiley‏. Pages 102-105.

לגבי נקודת המרכז של צורות מורכבות יותר, ראה במאמר הבא:

Kiss, S. N. (2015). On the Wittenbauer Type Parallelograms. International Journal of Geometry. Vol. 4

[8] How to Do Absolutely Everything: Homegrown Projects from Real Do-It-Yourself Experts‏. (2013). Beitain: ‪Skyhorse‏.pages 316-317.

[9] ‪Gelfand‏, ‪I‏. ‪M‏., ‪Alekseyevskaya (Gelfand)‏, ‪T‏. (2020). ‪Geometry‏. Germany: ‪Springer New York‏. page 137.

Euclid, Elements, Book I, Proposition 34–35, Clark University site.

© כל הזכויות שמורות למחבר

המספר שבע - חשבון שלם

 מאת: אורן סעיד

המתמטיקאים הקדמונים ייחסו חשיבות לתכונה מתמטית מיוחדת של מספר שבע המכונה "חשבון שלם".

נאמר בפרשתנו בפסוקי התוכחה: "וְאִם עַד אֵלֶּה לֹא תִשְׁמְעוּ לִי וְיָסַפְתִּי לְיַסְּרָה אֶתְכֶם שֶׁבַע עַל חַטֹּאתֵיכֶם" (כו, יח).  התורה מציינת, שיבואו על החוטאים שבעה עונשים, כנגד שבע חטאים שבצעו. יש פרשנים שהבינו שֶׁבַע כפשוטו, כמספר מדויק, כגון רש"י (כו, יח): "שֶׁבַע עַל חַטֹּאתֵיכֶם – שבע פורעניות על שבע העבירות האמורות למעלה" (שם). לעומת זאת, הרשב"ם  מבאר,  שאין הכוונה לשבע מכות בדווקא אלא להרבה מכות: "שבע על חטאתיכם. - כלומר הרבה מכות על חטאתיכם. כמו כִּי שֶׁבַע יִפּוֹל צַדִּיק וָקָם' (משלי כד , טז); 'וְאוֹר הַחַמָּה יִהְיֶה שִׁבְעָתַיִם' (ישעיהו ל, כו). 'וְהֶחֱזִיקוּ שֶׁבַע נָשִׁים' (ישעיהו ד, א)" (שם).

גם רלב"ג על הפסוק במשלי מבאר שהמספר "שבע" מבטא לפעמים מספר רב ולאו דווקא שבע: "כי שבע יפול צדיק וקם - וזה, כי אם תחשוב לעשות זה, לא יעלה בידך, כי 'הצדיק ייפול' פעמים רבות 'ויקום' בכל פעם ופעם, להידבק השגחת השם יתברך בו; אך 'הרשעים ייכשלו' ויפלו 'ברעה' אחת לבד" (משלי, שם). וכן מבאר המלבי"ם על הפסוק בשמואל 'עַד עֲקָרָה יָלְדָה שִׁבְעָה' (שמואל א, ב , ה): "רוצה לומר בנים הרבה, כי דרך לתפוס מספר שבעה על מספר גדול, כמו 'וְיָסַפְתִּי לְיַסְּרָה אֶתְכֶם שֶׁבַע' (ויקרא כו, יח), 'וּבְשִׁבְעָה דְרָכִים יָנוּסוּ לְפָנֶיךָ' (דברים כח, ז)" (שמואל א, שם).

המספר שבע מסמל שלימות.
מתוך ויקימדיה

רבי אברהם אבן עזרא מבאר בפרשתנו, שהמספר "שבע" מבטא לפעמים מספר רב ולאו דווקא שבע: "אם עד אלה - המכות. שבע - בעבור היותו חשבון שלם נאמר על לשון רבים: 'כִּי שֶׁבַע יִפּוֹל צַדִּיק וָקָם' (משלי כד , טז); 'עַד עֲקָרָה יָלְדָה שִׁבְעָה' (שמואל א, ב , ה)" (כו, יח). מדוע המספר שבע הוא "חשבון שלם" ?

רבי אברהם אבן עזרא, בספרו "האחד - על תשע המספרים הפשוטים[1]", עונה לשאלה הזאת:

"השבעה מחובר מתחלת מספר שאיננו זוג עם שני לזוג, וככה הוא מחובר מתחלת זוג עם שני לאשר איננו זוג, ובעבור זה קראוהו חכמי התושיה חשבון שלם". ראשית יש להקדים, שכיום המספר 1  נחשב כמספר האי-זוגי הראשון. ברם, על פי תפיסת הקדמונים, 1 נחשב ליסוד עליון, אינו זוגי ואינו אי‑זוגי, והוא מקורו של כל המספרים. כך כותב רבי אברהם אבן עזרא בספרו "האחד - על תשע המספרים הפשוטים[2]":

"האחד.. והוא ההווה וכל המספר הווה בעבורו" - ה-1 מרכיב את כל המספרים, כי את כולם ניתן לכתוב כחיבור של אחדים; וכן "והוא סיבת כל מספר זוג ושאינו זוג" - ה-1 אינו זוגי ואינו אי זוגי, אלא מרכיב את כל המספרים הזוגיים והאי זוגיים, כי המספר הזוגי הראשון הוא 2, המורכב משני אחדים והמספר האי-זוגי הראשון הוא 3 המורכב מהמספר הזוגי הראשון - 2 ועוד אחד.

לפיכך, רבי אברהם אבן עזרא כותב, על פי תפיסת הקדמונים, עד המספר 7: 2 הוא המספר הזוגי הראשון, 3 הוא המספר האי הזוגי הראשון, 4 הוא המספר הזוגי השני ו-5 הוא המספר האי זוגי השני. יוצא, שהסכום של המספר הזוגי הראשון – 2 עם המספר האי זוגי השני – 5, הוא 7; וכן הסכום של המספר האי זוגי הראשון – 3 עם המספר הזוגי השני – 4, הוא 7. הקדמונים ייחסו חשיבות מיוחדת לתכונה זו, הקיימת רק במספר שבע,  ולכן קראו למספר שבע "חשבון שלם".

כשמחלקים מספר ב־2, השארית היא 0 אם המספר זוגי, ו־1 אם הוא אי־זוגי. התכונה של מספר להיות זוגי או אי-זוגי נקראת זוגיות. הזוגיות נקבעת, אם־כך, לפי השארית בחלוקה ב־2. יש לציין, שתמיד הסכום  של מספר זוגי עם מספר אי זוגי הוא  תוצאה אי זוגית.  כיום, כאמור,  המספר אחד נחשב למספר האי-זוגי הראשון והמספר 2 הוא המספר הזוגי הראשון.

אבן עזרא מתייחס למספר שבע כסוד עמוק ובכך, כנראה, רומז ש-7 הוא "חשבון שלם"  וממחיש את כוחו המופלא של המספר שבע בביאורו ל'שבעה מזבחות' (במדבר כג, א): "שבעה מזבחות - יש סודות עמוקים לא יבינום כי אם מתי מספר: ושביעי בימים [שבת] ובחדשים [תשרי חודש החגים הוא השביעי] ובשנים [שמיטה ויובל] ושבע כבשי העולה [בראש חודש, בפסח, בשבועות בראש השנה וביום כיפור, ואילו בסוכות פעמיים שבע] ושבע הזָאוֹת [ביום כיפור ולטהרת המצורע]. גם אמר השם לאיוב: 'וְעַתָּה קְחוּ לָכֶם שִׁבְעָה פָרִים וְשִׁבְעָה אֵילִים' (איוב מב, ח). ובתת שלם לשלם [כאשר האל שהוא שלם, יתן יכולת הבנה את המספר שבע שהוא חשבון שלם] אז תתחדש רוח בינה [תתעצם יכולת ההבנה] והמשכיל יבין[3] [את כוחו המופלא של המספר שבע]".

בהערת אגב, יש לציין, שאין לבלבל בין "חשבון שלם" ל"מספר מושלם". מספר מושלם הוא מספר טבעי השווה בדיוק לסכום כל מחלקיו (ללא שארית), לא כולל הוא עצמו. המספר המושלם הראשון[4] הוא המספר  6, השווה לסכום מחלקיו: 1+2+3=6. את המספרים המושלמים גילה פיתגורס. רבי אברהם אבן עזרא מכנה זאת "מספר ישר[5]". לפיכך, יש להבדיל בין "מספר מושלם",  לבין המספר שבע – שהוא "חשבון שלם" – לפי המתמטיקאים הקדמונים.

---

[1] ספר "האחד - על תשע המספרים הפשוטים", רבי אברהם אבן עזרא, עם ביאור של שמחה פינסקר, דפוס ניטשע אדעסא, 1867, עמ' 56.

[2] שם, עמ' 1-6.

[3] הפירושים על פי הספר "רבי אברהם אבן עזרא איש אשכולות", בעריכת פרופ' דב שוורץ, הוצאת אְדָּרא, תל אביב,2023, עמ' 15.

[4] המספר המושלם השני הוא 28: 28= 14+7+4+2+1

[5] ספר "האחד - על תשע המספרים הפשוטים", עמ' 56. ראה הערה קודמת.

© כל הזכויות שמורות למחבר

שטח מגרש הלווים

 מאת: אורן סעיד

לחישוב שטח מגרש הלווים, הגמרא נעזרת בכלל ההנדסי, שאם נחסום עיגול בתוך ריבוע – באותו רוחב של הריבוע - שטח הריבוע יהיה גדול משטח העיגול ברבע.

בפרשתנו אנו קוראים על הציווי להקצות ללווים ארבעים ושתיים ערים לנחלה להתיישב בהם, בנוסף לשש ערי המקלט; זאת מאחר, ולשבט לוי לא היה חלק בנחלת הארץ, נצטוו השבטים האחרים לתת לשבט לוי  מנחלתם, ארבעים ושתיים ערים. לכל עיר התורה מצווה להקצות גם מגרש אשר ישמש את הלווים לאיחסון רכושם, הבהמות ושאר החיות. התורה מפרטת את גודל המגרש: "וּמִגְרְשֵׁי הֶעָרִים אֲשֶׁר תִּתְּנוּ, לַלְוִיִּם מִקִּיר הָעִיר וָחוּצָה, אֶלֶף אַמָּה סָבִיב.  וּמַדֹּתֶם מִחוּץ לָעִיר, אֶת פְּאַת קֵדְמָה אַלְפַּיִם בָּאַמָּה וְאֶת פְּאַת נֶגֶב אַלְפַּיִם בָּאַמָּה וְאֶת פְּאַת יָם אַלְפַּיִם בָּאַמָּה וְאֵת פְּאַת צָפוֹן אַלְפַּיִם בָּאַמָּה וְהָעִיר בַּתָּוֶךְ; זֶה יִהְיֶה לָהֶם מִגְרְשֵׁי הֶעָרִים (לה, ד-ה).  כבר בקריאה שטחית, ניתן להרגיש בסתירה[1] לכאורה הקיימת בפסוקים. בתחילה התורה אומרת שצריך למדוד אלף אמה מחוץ לעיר עבור המגרש, ולאחר מכן התורה אומרת שצריך למדוד אלפיים אמה מחוץ לעיר. הכיצד?

במשנה במסכת סוטה, תירץ רבי אליעזר בן רבי יוסי הגלילי, שה"אלף אמה" הן לשטח המגרש, ואילו ה"אלפיים אמה" הן לשטח השדות והכרמים של העיר: "רַבִּי אֱלִיעֶזֶר בְּנוֹ שֶׁל רַבִּי יוֹסֵי הַגְּלִילִי אוֹמֵר: אֶלֶף אַמָּה מִגְרָשׁ, וְאַלְפַּיִם אַמָּה שָׂדוֹת וּכְרָמִים" (פרק ה משנה ג). מפני שרבי אליעזר בן רבי יוסי הגלילי, לא ציין את השטח הכללי של השדות והכרמים עם המגרשים, נוצרה על כך מחלוקת בין הפרשנים. רש"י מפרש: "אלף אמה סביב - ואחריו הוא אומר אלפים באמה, הא כיצד? אלפיים הוא נותן להם סביב, ומהם אלף הפנימיים למגרש והחיצונים לשדות וכרמים" (שם). סך הכל יש למדוד אלפיים אמה מחוץ לעיר, כאשר רק השטח של אלף האמות הקרובות לעיר ישמשו למגרש עבור הבהמות והחיות[2], ואילו השטח של אלף האמות החיצוניות ישמשו לזריעה, לשדות ולכרמים[3]. מקור דברי רש"י הוא בתלמוד בבלי מסכת עירובין: "תניא: אמר רבי אליעזר ברבי יוסי: תחום ערי לוים - אלפים אמה; צא מהן (רש"י - סביב העיר) אלף אמה מגרש (רש"י - שאין נוטעין ולא זורעין שם אלא מניחין אותו לנוי העיר, כדמתרגם 'וּרְוָחֵי קִרְוַיָא' [במדבר לה פסוקים ב,ד]), נמצא (שטח) מגרש רביע והשאר שדות וכרמים. מנא הני מילי (רש"י - דמגרש אלף אמה)? אמר רבא: דאמר קרא (במדבר לה,ד) [ומגרשי הערים אשר תתנו ללוים] 'מִקִּיר הָעִיר וָחוּצָה, אֶלֶף אַמָּה סָבִיב'; אמרה תורה: סבב את העיר באלף[4]" (עירובין נו, ב).

אחת האפשרויות לחישוב שטח מגרש הלווים.

"נמצא מגרש רביע"

רבי אליעזר ברבי יוסי בברייתא לעיל, ציין ששטח המגרש הוא רבע מהשטח של התחום כולו (העיר, המגרש והשדות והכרמים). בתלמוד בבלי מסכת עירובין (שם) מבואר במספר דרכים באילו מיקרים שטח המגרש יהיה רבע משטח התחום כולו. את האפשרות הראשונה, מעלה רבא, ומציין שמדובר בעיר עגולה שקוטרה 2000 אמות[5]. את העיר מקיף מגרש עגול (שהרי לא מצינו הלכה מיוחדת המצריכה לרבע את המגרש) ברוחב 1000 אמות מכל צדדי העיר. מכאן שקוטר המגרש יחד עם העיר הינו 4000 אמות. את העיר והמגרש מקיף התחום בצורת ריבוע (ישנה הלכה מיוחדת שאת התחום צריך לרבע[6]) של השדות והכרמים ברוחב של 1000 אמות מכל הצדדים. הרי שאורך רוחב ריבוע התחום (העיר עם המגרש והשדות והכרמים מסביב) הינו 6000 אמות. שטח התחום פשוט לחישוב: שטח הריבוע הינו 36,000,000 אמות (6000 X 6000) מרובעות[7]. מהו שטח המגרש?

על מנת לחשב את שטח העיגול של העיר והמגרש והתלמוד בבלי נעזר בכלל ההנדסי, המופיע במספר מקורות בחז"ל: "כמה מרובע יתר על העגול? רביע" (שם) כלומר, אם נחסום עיגול בתוך ריבוע – באותו רוחב של הריבוע - שטח הריבוע יהיה גדול משטח העיגול ברבע (בהמשך נדון בכלל זה). ע"פ כלל זה אם העיר היתה בצורת ריבוע שאורכו ורחבו 2000 אמות, שטחה היה 4,000,000 אמות מרובעות (2000 X 2000); על מנת לחשב את השטח של עיר עגולה שקוטרה 2000, ע"פ הכלל הנ"ל, עלינו להפחית רבע, כלומר 1,000,000 אמה. הרי ששטח העיר העגולה הינו 3,000,000 אמות מרובעות (1,000,000 - 4,000,000). באופן דומה, נחשב את שטח המגרש עם העיר, ונקבל שהשטח הוא  12,000,000 אמות מרובעות [16,000,000  - שטח הריבוע שחוסם את העיר והמגרש; משטח זה נפחית רבע -  4,000,000 אמות]. מכאן ששטח המגרש (ללא העיר) הינו 9,000,000 אמות מרובעות (שטח המגרש יחד עם העיר פחות שטח העיר: 3,000,000- 12,000,000) – שטח שהוא רבע מהשטח של התחום כולו[8] (36,000,000 אמות מרובעות, ראה תרשים).

"כמה מרובע יתר על העגול - רביע"

כלל זה מופיע במשנה במסכת אהלות: "כַּמָּה יִהְיֶה בְּהֶקֵּפָהּ וִיהֵא בָּהּ פּוֹתֵחַ טֶפַח, בִּזְמַן שֶׁהִיא עֲגֻלָּה, הֶקֵּפָהּ שְׁלֹשָׁה טְפָחִים; בִּזְמַן שֶׁהִיא מְרֻבַּעַת, אַרְבָּעָה; שֶׁהַמְּרֻבָּע יָתֵר עַל הָעִגּוּל רְבִיעַ" (יב, ו). התוספות בעירובין מציין שכלל זה, מרובע גדול מהעיגול ברבע, זה הן בהיקף והן בשטח: "כמה מרובע יתר על העגול רביע – ואומר רבינו יצחק דהא רביע בין בהיקף בין בגוף הקרקע" (שם).

היקף העיגול והריבוע

התוספות (עירובין נו, ב ד"ה כמה מרובע) מביא הוכחה לכך שהיקף הריבוע גדול ברבע מהיקף העיגול (החסום על ידי הריבוע), מהכלל ההנדסי בתלמוד ליחס שבין היקף העיגול לקוטרו - "כל שיש בהיקפו שלשה טפחים - יש בו רחב טפח", כלומר היקף העיגול גדול פי שלושה מקוטרו. מכאן, עיגול שקוטרו טפח היקפו שלושה טפחים ואילו ריבוע שאורכו ורחבו טפח היקפו ארבעה טפחים, הרי שהיקף הריבוע גדול ברבע (טפח) מהיקף העיגול (החסום על ידי הריבוע).

התלמוד בבלי במסכת עירובין לומד את הכלל של היחס שבין היקף העיגול לקוטרו, מהמידות של הים של שלמה (=כלי קיבול גדול של מים, שעשה שלמה בבית המקדש), שההיקף שלו (30 אמות) היה גדול פי שלושה מהקוטר שלו[9] (10 אמות): " מנא הני מילי? אמר רבי יוחנן: אמר קרא (מלכים א ז, כג) 'וַיַּעַשׂ אֶת הַיָּם מוּצָק עֶשֶׂר בָּאַמָּה מִשְּׂפָתוֹ עַד שְׂפָתוֹ עָגֹל סָבִיב וְחָמֵשׁ בָּאַמָּה קוֹמָתוֹ וְקָו שְׁלֹשִׁים בָּאַמָּה יָסֹב אֹתוֹ סָבִיב  (רש"י - משפתו עד שפתו - חללו שלו, לבד עובי דופנותיו = עשר אמות, וכתיב וקו שלשים באמה יסוב אותו אלמא: לכל אמה רוחב בעיגולא איכא שלש אמות היקף)" (ערובין יד, א).  יש לציין, שהיחס בין היקף המעגל לקוטרו הוא  Л (פאי) שערכו בקירוב -  3.1415926536, וכבר העירו על כך התוספות[10]: "משמע שהחשבון מצומצם... וקשיא דאין החשבון מדוקדק לפי חכמי המדות" (ערובין יד, א ד"ה והאיכא משהו).

שטח העיגול והריבוע

בתוספות (שם) מוכיח ר"י (רבינו יצחק, מבעלי התוספות) ששטח הריבוע גדול ברבע משטח העיגול (החסום על ידי הריבוע). רבינו יצחק מחשב את השטח העיגול  שקוטרו טפח אחד כך:

נקיף את מרכז העיגול במעגלים עשויים חוט דק באופן שיכסו את שטח העיגול (הציור העליון), נחתוך אותם לאורכו של רדיוס אחד (הרדיוס האדום שבציור), וניישר את החוטים (הציור התחתון). הגובה המסומן בציור התחתון הוא הרדיוס שבהמשך רדיוס החיתוך שבציור העליון. יישור החוטים נעשה באופן שהנקודות שעל הרדיוס הזה תישארנה במקומן והחוטים יישארו ניצבים לרדיוס זה. כך מתקבל משולש שבסיסו שלושה טפחים (היקף העיגול)  וגובהו חצי טפח[11] (רדיוס העיגול, השווה לחצי מקוטר העיגול), לכן שטחו הוא 3/4 טפח מרובע (בסיס כפול גובה חלקי 2); ואילו שטח ריבוע שצלעו טפח הוא טפח מרובע (אורך כפול רוחב). הרי ששטח העיגול גדול ברבע (רבע טפח) משטח הריבוע שבאותו רוחב[12].

---

[1]  השד"ל יוצא חוצץ נגד תרגום השבעים, שתיקן בפסוק ד' "אלף" ל"אלפיים".  השד"ל מתרץ בעצמו את הסתירה בין הפסוקים כך: "והנה כבר הראיתי ב"בכורי העיתים" תקפ"ט (עמוד קיד) כי באמת אין שני הכתובים האלה סותרים זה את זה, כי באחד כתוב מקיר העיר וחוצה, ובאחד כתוב מחוץ לעיר, והנה המגרש היה נמשך אלף אמה מחוץ לחומה, אבל מחוץ לעיר כלומר מחוץ לבתים היה אלפים אמה, כי כמו שהיו מניחין מקום פנוי בלי בתים לפנים מן החומה; והמנהג הזה מצאנוהו אצל הרומאים בתחילת הוייתם, כי רומולוס בבנותו עיר רומי הניח מקום פנוי קצתו מן הבתים אל החומה אשר לא ייבנה בו, וקצתו מקיר העיר וחוצה, אשר לא ייעבד בו ולא ייזרע" (לה, ד-ה). מחומת העיר היה המגרש אלף אמה, אבל מהבתים, בשל הרווח בין החומה לבתים, היה המרחק אלפיים אמה.

[2]  שטח פתוח, שאין זורעים או נוטעים שם, לנוי העיר (ראה רש"י ערובין נו, ב – בהמשך המאמר).

[3] רש"י וכן רבינו עובדיה מברטנורא, מפרשים את דברי רבי יוסי הגלילי "אלפיים לשדות וכרמים" = השאר לשדות וכרמים – כפי לשון הברייתא בעירובין (נו, ב) - ולא שכל שטח השדות הכרמים הוא אלפיים אמה.

[4] לעומת זאת, לדעת הרמב"ם, אורך מגרשי ערי הלויים היו במרחק של עד שלושת אלפים אמה מהעיר עצמה, מתוכם אלף האמה הסמוכות יותר לעיר שימשו כמגרש, ואילו אלפיים האמה החיצוניות יותר שימשו כשדות וככרמים[4] (הלכות שמיטה יובל, פרק יג הלכה ב).

[5] אמה היא יחידת מידה קדומה לאורך, שיעורה 48 ס"מ לפי שיטת רבי חיים נאה.

[6]  על מנת שיהא נשכר בקרנות, באלכסון, ראה עירובין נו, ב.

[7] אמה מרובעת, הכוונה לשטח ריבוע שאורך צלעו אמה אחת.

[8] גם אביי מתרץ,  שמדובר בעיר עגולה ומגרש עגול, והתלמוד שוב משתמש בכלל "כמה מרובע יתר על העגול? רביע" (שם), אלא שמתרץ שמדובר בעיר בקוטר אלף אמה וכן המגרש  מקיף את העיר סביב אלף אמה, ואז שטח המגרש הוא רבע משטח התחום כולו – אבל ללא שטח העיר. אנו הבאנו את התירוץ הראשון שמופיע בתלמוד שהוא של רבא.

בנוסף, צורת החישוב בתלמוד היא קצת שונה ממה שהצגנו כאן (אבל התוצאה זהה) והוא מחלק את כל השטח לריבועים של אלף אמה על אלף אמה, כי הוא מציין מהו שטח "תחום שבת" ומהו שטח הקרנות. לשם פשטות החישוב, והצגת הנושא העיקרי של המאמר,  שהוא הדגמת הכלל "כמה מרובע יתר על העגול? רביע" (שם), הצגנו את החישוב הישיר ללא צורך החלוקה לריבועים.

לסיכום שיטות "תחום ערי הלויים" בסוגיא במסכת עירובין (שם) ראה בפורטל הדף היומי.

[9] תיאור זה, לכאורה, עומד בסתירה לעובדה שהיחס במעגל בין הקוטר להיקף הוא פאי: המתחיל בספרות ...3.14159, ואילו היחס המתואר בתנ"ך הוא 3 (30 ל-10). המתבוננים בגימטריה של הטקסט יבחינו כי השימוש בכתוב במילה קוה (בגימטריה 111) מתוקן על ידי הקרי למילה קו (בגימטריה 106). אם נחלק 111 ב-106, נקבל 1.04716981, ואם נכפיל תוצאה זו ב-30 (ההיקף כפי שמתואר בכתוב) נקבל 31.4151, כלומר קירוב עד עשירית המילימטר של ההיקף האמיתי. יש מן המפרשים האומרים שהמספר האמור במקרא הוא מספר עגול. הסבר אחר תולה את ההפרש בעוביו של הים - הקוטר נמדד מהדפנות החיצוניות, ואילו ההיקף סביב הדפנות הפנימיות.

[10] ראה גם פירוש המשניות לרמב"ם, עירובין פרק א משנה ה ; ראה גם בשו"ת תשב"ץ חלק א סימן קסה, שלכן הביא התלמוד מקור (פסוק) ללמוד ממנו את היחס בין היקף העיגול לקוטרו, ולא הסתמכה על הידע המתימטי שרווח בתקופתם, כדי להורות שבחישובים הלכתיים יש להשתמש בערך המקורב לפאי - שלוש, ולא בערך המדוייק של פאי.

להרחבה ראה במאמר "מספרים אי רציונאליים בפרשה ובחז"ל", בפרשת תרומה.

[11] ר"י אינו מסביר מנין לו שאחרי יישור המעגלים יוצרים קצות החוטים שוקיים ישרות. הדבר יכול להתקבל מזה שההיקפים של מעגלי החוטים פרופורציוניים לרדיוסיהם, לכן אורכי החוטים הישרים פרופורציוניים למרחקיהם מהקודקוד.

[12]  ראה גם מאמרו של פרופ' עמוס ארליך, החוג להוראת המדעים, אוניברסיטת תל-אביב, "כמה מרובע יתר על העיגול רביע", תשס"ה, 2005, באתר "דעת", מכללת הרצוג.

הוכחה זהה בספרו של רבי אברהם בר חייא הנשיא (המאה ה-12) "חיבור המשיחה והתשבורת", בחלקו השני של הספר. המחשה לנוסחת שטח המעגל ע"פ אברהם בר חייא מובאת במאמר "The proof of Rabbi Abraham Bar Hiya Hanasi " מאת בועז צבאן ודוד גרבר, אונ' בר-אילן.

© כל הזכויות שמורות למחבר

מספרים אי רציונליים בפרשה ובחז"ל

 מאת: אורן סעיד

בפרשתנו מתוארת מבנה חצר המשכן. מתיאור שטח המשכן, אנו למדים על מהותם של המספרים האי-רציונאליים בדברי חז"ל.

בפרשתנו אנו קוראים על מבנה חצר המשכן. מידות חצר המשכן הן: "אֹרֶךְ הֶחָצֵר מֵאָה בָאַמָּה וְרֹחַב חֲמִשִּׁים בַּחֲמִשִּׁים, וְקֹמָה חָמֵשׁ אַמּוֹת שֵׁשׁ מָשְׁזָר וְאַדְנֵיהֶם נְחֹשֶׁת (שמות כז, יח). אורך החצר 100 אמה ורחבה 50 אמה. סה"כ שטח של 5000 אמות מרובעות (5000 = 50X100). שטח זה נקרא בלשון חז"ל "בית סאתיים", הוא שטח של שני "בית סאה". "בית סאה" הוא שטח שאפשר לזרוע בו סאה תבואה בלבד ושטחו 2500 אמות מרובעות.

המשכן עמד בחציה המערבי של החצר, והיה מרחק מקרשי המשכן עד לעמודי החצר עשרים אמות לצפון וכן לדרום וכן למערב; ובחמישים אמות המזרחיות של החצר היו המזבח החיצון והכיור.

המשנה במסכת עירובין דנה, בבית סאתיים שצורתו ריבוע, כלומר, שאורכו שווה לרוחבו: "ועוד אמר רבי יהודה בן בבא: הגנה והקרפף שהן שבעים אמה ושיריים על שבעים אמה ושיריים, מוקפת גדר גבוה עשרה טפחים, מטלטלין בתוכה, ובלבד שיהא בה שוֹמֵרָה  [סוכת שומרים] או בית דירה, או שתהא סמוכה לעיר" (פרק ב משנה ה).  בבית סאתיים שצורתו ריבוע, אורך צלע הריבוע הוא באורך 70 אמה ושיריים. כמה הם ה"שיריים"? לדעת רוב המפרשים (רש"י, ברטנורא) הם שני שלישי אמה. הגמרא לומדת זאת מהפסוק המתאר את מידות חצר המשכן שהבאנו לעיל: "אורך החצר מאה באמה ורחב חמישים בחמישים – אמרה תורה: טול חמישים וסבב חמישים" (עירובין כג, עב). כלומר, טול חמישים אמה שיש כאן, מהאורך שגדול מהרוחב, וסבב את חמישים האמה הנותרות עד שיגיעו לצורת ריבוע שצלעו שבעים אמה ושיריים.

ברם, אם נחשב את השטח של ריבוע שצלעו ⅔70 אמות נמצא ששטחו: 4993⁷⁄₉ אמות, והרי הפרש של 6 אמות ו²⁄₉ האמה מ-5000 אמה. ואכן בגמרא נאמר: "רבי יהודה אומר: דבר מועט יש על שבעים אמה ושיריים ולא נתנו חכמים בו שיעור" (שם). כלומר, שהשיעור של ⅔70 אינו מדוייק, אלא מקורב. הרמב"ם בפירושו למשניות נותן שיעור מדוייק יותר לצלע ריבוע ששטחו 5000 אמה: שטח ריבוע שצלעו 70 אמה ו⁵/₇ האמה הוא, ½5000 בקירוב.

מדוע חכמינו לא נתנו לנו שיעור מדוייק לחלוטין, לצלע של ריבוע ששטחו 5000 אמה, אלא רק קירובים?

למעשה לא ניתן להגיע לקביעת גודל מדוייק לחלוטין, מכיוון שמספר זה – שורש של 5000 - הוא אי-רציונאלי. כלומר, כלומר זהו מספר שאינו שלם וגם לא ניתן להציגו כשבר, כמנה של מספרים שלמים. אם מנסים לבטא מספר אי-רציונאלי בצורה עשרונית מקבלים רצף של ספרות שנמשך עד אינסוף, בלא סדירות ובלא תבנית קבועה. לדוגמא, אם ננסה לבטא את 5000√ בצורה עשרונית נקבל

5000√ = ...70.71067811865475244008443 . כלומר לעולם לא נוכל לכתוב את המספר בצורה מפורשת, אלא רק אומדן של המספר !

ואכן כך כותב הרמב"ם (שם): "אבל שטח מרובע בעל זוויות ישרות, שתשבורתו [שטחו] חמשת אלפים אמה, אי אפשר לדעת צלע אותו השטח אלא בקירוב, לפי שחמשת אלפים הוא מספר שאין לו שורש, ושרשו בקירוב שבעים אמה וחמש שביעיות אמה. והעניין במספר הזה כמו שביארתי לך למעלה (פרק א משנה ה) ביחס קוטר העגול להיקפו, לפי שגם הוא אי אפשר לעולם להגיע לידיעת שורש המספר "אלצם" [מספר שאי אפשר לדייק שרשו, מעין עקשן, בלתי נשמע (ע"פ פירושו של הרב יוסף קאפח)] שלו אלא בקירוב; ואין זה מחמת חסרונינו, אלא שטבע המספר כך..."[1].

דגם המשכן של מיכאל אוסניס מקדומים
מתוך ויקיפדיה

בפרק השישי של החיבור "משנת המידות"[2], ישנה הוכחה, על ידי חישוב מסובך, שהאורך של הבריח התיכון של המשכן היה 70.7+1/120 אמות, וזהו השורש המרובע המקורב של 5000, הוא שטח חצר המשכן באמות מרובעות. בלשון החיבור:
"נמצא מקום אורך הבריח התיכון שבעים אמה ושירַיִם והוא עיקר חמשת אלפים אמה ואינו יוצא בחשבון". כלומר העיקר, בלשוננו השורש, של 5000 הוא מספר אי-רציונאלי (אינו יוצא בחשבון), והסיכום:

"הא למדת מידת עיקר מן התורה"   - כלומר התורה רמזה לשורש מרובע של 5000!
ואמנם קשה לראות מהו הקשר בין אורך הבריח התיכון לשטח חצר המשכן.

ישנם עוד שני מספרים אי רציונאליים מפורסמים, בהם נעסוק בקצרה.

המספר 2√

בתלמוד בבלי מסכת סוכה נאמר: "כל אמתא בריבועא, אמתא ותרי חומשי באלכסונא" (סוכה ח, א). אורך האלכסון בריבוע שצלעו אמה, הוא  1²⁄₅ אמות (1.4). כלל זה הוא קירוב לשיעור המדוייק של 2√. ואמנם כבר התוספות במקום העירו: "אין החשבון מכוון ולא דק, דאיכא טפי פורתא" (שם, ד"ה כל אמתא). כלומר, הערך המובא בגמרא לאורך האלכסון בריבוע שצלעו אמה אחת, הוא מקורב, וערכו הוא קצת גדול יותר מהערך המובא בגמרא: ... 1.4142135623=√2

גם כאן, למעשה לא ניתן להגיע לגודל מדוייק לחלוטין, מכיוון ש-2√ הוא מספר אי-רציונאלי. כתיבת √2 בצורת שבר עשרוני היא אינסופית, ולכן לא ניתן להגיע לשיעור מדוייק לחלוטין של ערך זה. כבר האבן עזרא כתב שלא ניתן להגיע לשיעור מדוייק של שורש שנים: "הנה דבר קל, והוא לדעת שורש שנים הנקרא גדר, אין כוח לאדם לדעתו" (שמות כג, כ).

בשנת 1996 הערך של  √2 חושב ל-137,438,953,444 (כ-137.4 מיליארד) מקומות אחרי הנקודה העשרונית. בשנת 2006 נשבר השיא של חישוב ספרות לאחר הנקודה של השורש הריבועי של 2 והגיע ל-200 מיליארד ספרות לאחר הנקודה[3].

המספר Π (פאי)

הגמרא במסכת עירובין אומרת: "כל שיש בהיקפו שלושה טפחים, יש בו רוחב טפח" (עירובין יד, א). כלומר היחס בין היקף עיגול לקוטרו הוא 3. רבי יוחנן לומד זאת מפסוק בספר מלכים, המתאר את  ה"ים של שלמה" (מיכל מים גדול שעשה שלמה המלך בבית המקדש הראשון): " וַיַּעַשׂ אֶת הַיָּם, מוּצָק:  עֶשֶׂר בָּאַמָּה מִשְּׂפָתוֹ עַד שְׂפָתוֹ עָגֹל סָבִיב, וְחָמֵשׁ בָּאַמָּה קוֹמָתוֹ, וקוה (וְקָו) שְׁלֹשִׁים בָּאַמָּה, יָסֹב אֹתוֹ סָבִיב" (מלכים א, ז, כג). הרי שהיקף של ה"ים" היה  30 אמות וקוטרו 10 אמות. הרי שההיקף גדול פי 3 מהקוטר.

היחס בין היקף המעגל לקוטרו מסומן באות היוונית Π (פאי).  ערכו המקורב הוא: 3.14159. זהו מספר אי-רציונאלי ולכן כתיבתו בצורת שבר עשרוני היא אינסופית, ולכן לא ניתן להגיע לשיעור מדוייק לחלוטין של ערך זה.   כבר הרמב"ם ציין שמספר זה לא ניתן לחישוב מדוייק: "צריך אתה לדעת שיחס קוטר העיגול להקפו בלתי ידוע, ואי אפשר לדבר עליו לעולם בדיוק, ואין זה חסרון ידיעה מצידנו כמו שחושבים הסכלים, אלא שדבר זה מצד טבעו בלתי נודע ואין במציאותו שיודע"[4] (פירוש המשניות עירובין, א, ה). בהמשך דבריו הוא מציין קירוב מדוייק יותר ממה שהובא בגמרא, ליחס בין היקף העיגול לקוטרו: ²²/7.

גם האבן עזרא כותב שמספר זה לא ניתן לחישוב מדוייק: "גם בחכמת המידות יש מחלוקת לדעת חוט הסובב, ואין מי יתן ראיה גמורה עד שתתברר האמת" (שמות כג, כ).

 כיום  הצליחו באמצעות מחשבים חזקים, לחשב את ערכו של פאי  ליותר מעשר טריליון ספרות (1 טריליון=1,000,000,000,000) אחרי הנקודה העשרונית[5] !

---

[1]חכמינו ידעו שיש קירוב טוב יותר לשורש של 5000, אלא שהלכה למעשה, הם הורו לנו מידות ושיעורים שאנו נוכל להשתמש, ליישם ולמדוד בקלות מבלי להיזקק לאמצעים מתקדמים או לטכניקות מסובכות למדידת השטח של בית סאתיים שצורתו ריבוע. ולכן הפרשנים דלעיל השתמשו בערכים מקורבים כמו: ⅔70.

[2] מכונה גם מ"ט דמידות, ומזכירים אותו רש"י, אבן עזרא, תוספות ועוד. נכתב במאות הראשונות לספירה. לא ידוע בוודאות מי חיברו. ראה גם בהמכלול – האנצ' היהודית בערך "משנת המידות".

[3] ע"פ המכלול – האנצ' היהודית בערך "השורש הריבועי של 2".

[4]   גישה זאת מקדימה את זמנה בכשש מאות שנים (!), כיוון שהעובדה שהמספר Π אינו רציונאלי הוכחה ע"י המתמטיקאי למברט רק במאה הי"ח לספירה המקובלת. יש לציין ש"חשדות" שהמספר הנדון אינו רציונאלי היו קיימים גם בקרב מתמטיקאים מוסלמים בני תקופתו של הרמב"ם, כמו אל-בירוני, אולם אף אחד מהם לא מביע דעה נחרצת כל כך בנדון. להרחבה על דיוק פאי במקורות היהדות ראה מאמרם של בועז צבאן ודוד גרבר, אונ' בר אילן,  "ערכים מדוייקים של פאי במקורות היהדות".

[5] ראה בויקיפדיה האנגלית בערך "pi" (פאי).

© כל הזכויות שמורות למחבר

עיגול המספרים במפקדי השבטים

 מאת: אורן סעיד

הפרשנים התייחסו לעובדה שכמעט כל המספרים המופיעים במפקדי השבטים נראים כמספרים עגולים, כלומר: בלא יחידות ואפילו לרוב בלא עשרות.

בפרשתנו מופיע הציווי והביצוע של מפקדי השבטים, בשנה השנית לצאתם מארץ מצרים. המיפקד הוא רק ל"יוצאי צבא" - אנשים המסוגלים לצאת למלחמה, זכרים מבן עשרים שנה ומעלה (א, ג).

היו שלושה מפקדים:

א.  בשנה הראשונה לצאתם ממצרים, סה"כ מנו בני ישראל  603,550 נפש (שמות לח, כו), ע"פ תוצאות    הספירה של מחציות השקלים.

ב.  בשנה השנייה לצאתם ממצרים, סה"כ מנו בני ישראל (ללא שבט לוי) 603,550 נפש (במדבר א, מו).

ג.  בשנת הארבעים לצאתם ממצרים, סה"כ מנו בני ישראל (ללא שבט לוי) 601,730 נפש (במדבר כו, נא).

המספרים של מפקדי השבטים, מעוררים תמיהה, שהרי המספרים עגולים! כמעט כל המספרים מתחלקים ב-100 ! גם המספרים שלא מתחלקים במאה, הם מתחלקים ב-10! האם המספרים באמת מעוגלים ולא מדויקים[1]?

מפקד השבטים בפרשתנו ובערבות מואב.

אפשר היה להסביר את התופעה הזאת כנס[2], ברם, הסבר זה בעייתי, מהטיעון הפשוט, שאין נס בלא משמעות או בלא תועלת.

הרה"ג יעקב קמינצקי זצ"ל מבאר [3] שההיררכיה של שרי בני ישראל הייתה באופן הבא: שרי אלפים, שרי מאות, שרי חמישים ושרי עשרות, אך לצורך המפקד, השתמשו בשרי חמישים, כי היא היתה המסגרת הקטנה ביותר בה התארגנו למלחמה [4]. כל הנמנים שהיו יתרים על חמישים, צורפו לשרי חמישים אחרים, ובמקרה הצורך שבו לא היה ניתן לצרף את האנשים ליחידה שלימה של חמישים אנשים, התורה עיגלה את מספרם, וכך יצא שסכום מניינם של כמעט כל השבטים הם סכומים מתחלקים בחמישים או במאה. רק אצל שבט ראובן  הסכום מסתיים בשלושים, מאחר ובני שבט ראובן השתתפו במחלוקת קרח ועדתו, והתורה רצתה להנציח את העונש של המשתתפים בעדת קרח, לכן השאירו יחידה צבאית אחת שהיו בה רק שלושים חיילים.

דרך התורה בעיגול מספרים

במניינם של בני יעקב הבאים מצרימה יש בעיה: הסך הכולל שמציינת התורה הוא שבעים, אך כאשר מונים את כל הנפשות יש ששים ותשע נפשות בלבד [5] (בראשית מו, ז-כז). מבאר רבי אברהם אבן עזרא, שהתורה מעגלת מספרים, כאשר חסר אחד: "שבעים - ... ואם טען טוען ויאמר כי הנה כתוב: 'וַיְהִי כָּל־נֶפֶשׁ יֹצְאֵי יֶרֶךְ יַעֲקֹב שִׁבְעִים נָפֶשׁ' (שמות א, ה) ? דע כי הכתוב לא חשש להוציא אחד משבעים... כי לא הלך הכתוב כי אם אחר הרוב" (בראשית מו, כז). גם הרמב"ן אימץ שיטה זו של "עיגול" מספרים, כפי שכתב בהשגותיו על ספר המצוות של רמב"ם (שורש א): "מנהג חכמים בתלמוד וגם בתורה ובנביאים כן, שלא יחושו להוציא דבר אחד מן הכלל , וידברו על הרוב". בין דוגמאותיו לתופעה שגם במקרא הכתוב מדבר בהכללה, "על הרוב", ואינו חושש ל"דבר אחד", לפריט אחד, הוא מביא את הפסוק על שבעים יוצאי ירך יעקב (בראשית מו, כז).

הפרשן רבי ישעיה דיטראני (רי"ד), גדול חכמי איטליה במאה השלוש-עשרה, בפירושו לתורה, הקרוי 'נימוקים' לחומש, מבאר שדרך התורה לעגל את המספרים: "פְּקֻדֵיהֶם לְמַטֵּה רְאוּבֵן שִׁשָּׁה וְאַרְבָּעִים אֶלֶף וַחֲמֵשׁ מֵאוֹת - תימה: וכי אפשר שלא היה חסר אחד או שניים מן הכללים שאומר כאן, או יותר? ויש לומר: שאין הכתוב מקפיד בזה, כדכתיב (ויקרא כג, טז) 'תִּסְפְּרוּ חֲמִשִּׁים יוֹם' - ואינן אלא ארבעים ותשעה. וכן (דברים כה, ג) 'אַרְבָּעִים יַכֶּנּוּ' והם שלושים ותשעה (מכות כב, א)". הרי"ד מבאר שבמפקדי השבטים התורה מעגלת מספרים. כהוכחה לדבריו, הוא מציין שתי דוגמאות הלכתיות בהן התורה משתמשת בעיגול: ספירת העומר ומלקות.

גם הרא"ש מבאר את הדרך התורה בעיגול מספרים: "יש מקשין: כיוון דקרא קאמר [= שהפסוק אומר] 'תִּסְפְּרוּ חֲמִשִּׁים יוֹם', למה אין אנו מונין אלא תשע וארבעים יום? ודוחקין לפרש הפסוק 'עַד מִמָּחֳרַת הַשַּׁבָּת' - שהוא יום חמשים – 'תִּסְפְּרוּ'; אי נמי [= או גם]: 'חֲמִשִּׁים יוֹם' א'וְהִקְרַבְתֶּם' דבתריה קאי [= על 'וְהִקְרַבְתֶּם' שאחריו הוא עולה], והכי קאמר [= וכך הוא אומר]: 'עַד מִמָּחֳרַת הַשַּׁבָּת תִּסְפְּרוּ' - ולא עד בכלל – 'חֲמִשִּׁים יוֹם, וְהִקְרַבְתֶּם מִנְחָה חֲדָשָׁה לַה' ; ולי נראה, שאין אנו צריכין לדחוקות הללו. כיוון דכתב ביה בהדיא (- שכתוב בו בפירוש) 'שִׁבְעָה שָׁבֻעֹת תִּסְפָּר לָךְ' (דברים טז, ט) - אין לספור יותר משבעה שבועות. ומ'תִּסְפְּרוּ חֲמִשִּׁים יוֹם' - לא קשיא מידי [= לא קשה דבר],  שכן דרך המקרא, כשמגיע המניין לסכום עשירית פחות אחת - מונה אותו בחשבון עשירית, ואינו משגיח על חסרון האחד ; כיוצא בו 'כָּל הַנֶּפֶשׁ לְבֵית יַעֲקֹב הַבָּאָה מִצְרַיְמָה שִׁבְעִים' (בראשית מו, כז); וכן 'אַרְבָּעִים יַכֶּנּוּ' (דברים כה, ג)" (פסקי הרא"ש, פסחים, סימן מ).

הרא"ש כותב שדרך המקרא לעגל לעשרות, כאשר הסכום הוא פחות אחד מהמספר המעוגל. הוא מציין שבספירת העומר, קיימת סתירה: מצד אחד התורה מצווה לספור חמישים יום אך מצד שני מצווה לספור שבעה שבועות, שהם ארבעים ותשע ימים. הוא מתרץ, שהמספר חמישים הוא מעוגל. גם לגבי ציווי התורה  להלקות את החייב ארבעים פעמים,  המספר ארבעים הוא מעוגל, שהרי חז"ל דרשו שהכוונה ל-שלושים ותשע פעמים (מכות כב).

הביאור שנתן הרא"ש לפסוק "כָּל הַנֶּפֶשׁ לְבֵית יַעֲקֹב הַבָּאָה מִצְרַיְמָה שִׁבְעִים" (בראשית מו, כז) הוא הקרוב ביותר לענייננו, שהרי גם בפסוק ההוא מדובר במניין נפשות, מעין המפקד שבפרשתנו. א"כ,  אפשר לומר גם כאן, שבמספרים גדולים, עשרות ומאות אלפים, דרך המקרא לעגל למאות שלמות בשיעור הרבה יותר מאחד. ולכן אין קושי לומר, שהמספרים המופיעים במפקדי השבטים הם מעוגלים!  

יש לציין, שהמספרים של מנין הלווים (22,000) והבכורות (22,273) הם מדויקים, כי היה צורך לפדות את הבכורות בלויים.

ברם, איך נתייחס, למספרים הבאים, שמעוגלים לעשרות ולא למאות:

א. מספר הפקודים של שבט גד בפרשתנו     45,650     (א, כה).

ב. מספר הפקודים של שבט ראובן בפרשת פינחס     43,730     (כו, ז).

ביאור פרופסור עלי מרצבך

פרופסור עלי מרצבך, מהמחלקה למתמטיקה באוניברסיטת בר-אילן, עסק בשאלה זו במאמרו "מפקדי בני ישראל במדבר"[6], הנה קטעים אחדים מתוך מאמרו:

"נראה לי שאפשר... [להסביר את התופעה] בהסתמך על הכללים הבאים, המתייחסים למספרים די גדולים (בוודאי נכון עבור מספרים גדולים מ-5,000):

א. כאשר המספר שהתקבל היה בעשרות שלמות (בלא יחידות), אז התורה כתבה אותו כמות שהוא ולא עיגלה אותו.

ב. כאשר המספר שהתקבל לא היה בעשרות שלמות, אז התורה עיגלה אותו למספר המאות הקרוב ביותר.

לכללים אלו סברה פשוטה: אם כבר מעגלים מספר המסתיים ביחידות, אז מעגלים אותו למאות (עם טעות קטנה מִמֵּאִית). אבל אם המספר מסתיים בעשרות - משאירים אותו כמות שהוא.

אם נעיין בנתוני התורה, הדבר בולט באופן ברור לחלוטין. בכל אחד משני מפקדי בני ישראל במדבר, מתוך 12 נתונים, 11 מהם כפולות של מאות; ואילו אחד (במפקד הראשון מדובר על שבט גד ובמפקד השני - על שבט ראובן) הוא כפולה של עשרות. ההסתברות שמספר כלשהו מסתיים באפס אבל אינו כפולה של מאה שווה ל-9/100, ולכן אם בוחרים 12 מספרים כלשהם, תוחלת מספר ההופעות של מספרים בעלי תכונה זו שווה ל 12X 9/100 = 1.08. במלים אחרות: בממוצע, מתוך 12 מספרים, אחד מהם יהיה כפולה של עשרות (ולא כפולה של מאות). יתירה מזו: אם נחשב את ההסתברויות השונות (לפי התפלגות בינומית), מתברר שההסתברות הגדולה ביותר מתקבלת שוב כאשר יש בדיוק מספר אחד מהצורה הזאת מתוך 12 מספרים.

עתה מובן היטב, מדוע התורה הייתה צריכה לכתוב את הסיכומים של בני ישראל בשני המפקדים. ואמנם כיוון שכל המספרים מעוגלים, היה יכול להיווצר מצב, שהסיכום הכללי המתקבל יהיה רחוק מאוד ממספר המפקד האמתי. באופן תיאורטי, לגבי מפקד בני ישראל, הסטייה יכולה להגיע ל - 588 נפשות. אכן אם, למשל, מספר הפקודים לגבי כל שבט מסתיים במספר 49, ואז מעגלים למספר המאות הקטן, כך שאחרי סיכום כל השבטים מתקבל מספר קטן ב - 588 (ולמעשה 600 אחרי עיגול) ממניין הפקודים האמתי. כמובן, דוגמא זו היא קיצונית מאוד, ובאופן מעשי ישנו משפט מתמטי, שעל פיו, ככל שמסכמים יותר מספרים, הסטיות הנובעות מהקירובים למספרים הקרובים ביותר נוטות להתקזז ביחד. ובאופן מעשי זה בדיוק מה שקרה לגבי מפקדי בני ישראל. כל הסטיות, כלפי מעלה וכלפי מטה, התקזזו, כך שהסיכום התאים למניין הפקודים (כמובן, עד כדי חמישים בקירוב), ולכן היה חשוב מאוד למסור בתורה את כל חשבונות הסיכומים".

---

[1] על פי המאמר של הרב אלחנן סמט ,"המפקדים - שיטת עיגול המספרים במפקדי בני ישראל", עיונים בפרשת השבוע כרך ב', סדרה שניה, הוצאת מעליות, ירושלים תשס"ד. המאמר המקוון באתר "דעת".

[2]  השוואת מספר האוכלוסין הכולל של בני ישראל בשלושת המפקדים מעלה כי בשני המפקדים הראשונים היה מספר הנפקדים זהה, בעוד ההפרש בין המפקד השלישי (שנת הארבעים) לשני המפקדים הראשונים הוא מצומצם ביותר. המלבי"ם מבאר שהסיבה שבשני המפקדים הראשונים היה מספר הנפקדים זהה,  שמדובר בהשגחת ה': "והיה זה בהשגחת ה' שכולם האריכו ימים" (במדבר א, א). האברבנאל כותב דברים דומים להסבר ההפרש המצומצם בין שני המניינים הראשונים לשלישי: "והיה מהשגחת השם על עמו ששמר מספרם" (במדבר כו). באותו אופן אפשר  לכאורה לומר על המספרים העגולים של מפקדי השבטים.

[3] בספרו "אמת ליעקב" בפרשת פנחס על הפסוק בפרק כו פס' ח.

[4] להוכחת העניין מביא הרב קמינצקי שני פסוקים: פסוק מספר שמואל בתיאור משפטי המלך: "וְלָשׂוּם לוֹ שָׂרֵי אֲלָפִים וְשָׂרֵי חֲמִשִּׁים" (שמואל א, ח, יב) ואילו שרי מאות ושרי עשרות לא הוזכרו כאן, ופסוק נוסף מספר מלכים: "וַיִּשְׁלַח אֵלָיו שַׂר-חֲמִשִּׁים, וַחֲמִשָּׁיו" (מלכים ב, א, ט).

[5]  ראה גם מאמרו של שמואל כהן, "כל הנפש לבית יעקב הבאה מצרימה שבעים", בדף השבועי מאת היחידה ללימודי יסוד ביהדות באונ' בר-אילן, פרשת ויגש, תשס"ה.

[6] בכתב העת 'הגיון', מחקרים בדרכי החשיבה של חז"ל, כרך ה, תשס"א (עמ' 97-104). ראה גם בדף השבועי, מס' 238, מאת המרכז ללימודי יסוד ביהדות, אונ' בר אילן, במאמר "מפקדי בני ישראל", פרופ' עלי מרצבך.

© כל הזכויות שמורות למחבר

המספר עשר במקרא ובשיטה העשרונית

 מאת: אורן סעיד

המספר "עשר"במקרא, פעמים שהוא מציין ריבוי ולאו דווקא את המספר עשר, משום שמספר זה הוא תחילת העשרות וסוף האחדות.

נאמר בפרשתנו, שבני ישראל היוצאים ממצרים, ניסו את ה' "עשר פעמים": "כִּי כָל הָאֲנָשִׁים, הָרֹאִים אֶת כְּבֹדִי וְאֶת אֹתֹתַי, אֲשֶׁר עָשִׂיתִי בְמִצְרַיִם, וּבַמִּדְבָּר; וַיְנַסּוּ אֹתִי, זֶה עֶשֶׂר פְּעָמִים, וְלֹא שָׁמְעוּ בְּקוֹלִי" (יד, כב). רש"י מבאר, על פי התלמוד בבלי מסכת ערכין, שבני ישראל ניסו את ה' בדיוק עשר פעמים: "תניא אמר ר' יהודה: עשר נסיונות ניסו אבותינו להקב"ה: שנים בים ושנים במים, שנים במן, שנים בשליו, אחת בעגל ואחת במדבר פארן" (ערכין טו, א).  לעומת זאת, רבי אברהם אבן עזרא  מבאר שאין כוונה בדיוק לעשר ניסיונות אלא להרבה ניסיונות: "זה עשר פעמים – הטעם רבים; והזכיר עשר - בעבור היותו סך חשבון, כי הוא סוף האחדים וראש העשרות שהם במחברת השנית". כך גם פירש הרשב"ם: "עשר פעמים - הרבה. כמו: 'עֲשֶׂרֶת מֹנִים' (בראשית לא, ז) 'וְאָפוּ עֶשֶׂר נָשִׁים' (ויקרא כו, כו), 'זֶה עֶשֶׂר פְּעָמִים תַּכְלִימוּנִי' (איוב יט, ג)". גם האברבנאל כותב [1] שהמספר עשר מציין ריבוי: "וינסו אותי זה עשר פעמים, שהמספר הזה מורה על הריבוי, ועל כל זה לא שמעו בקולי ולא האמינו בי" (שם). גם הרד"ק בספר השורשים [2] מציין שהמספר עשר מציין ריבוי:  "ולפי שהעשרה הוא סוף החשבון וכולל כל חשבון, יבא פעמים לסך חשבון ואינו רוצה בו חשבונו לבד, כמו 'זֶה עֶשֶׂר פְּעָמִים תַּכְלִימוּנִי' (איוב יט, ג), 'וְאָפוּ עֶשֶׂר נָשִׁים' (ויקרא כו, כו), 'מֵעֲשָׂרָה שַׁלִּיטִים' (קהלת ז,יט) , 'כִּי עַתָּה כָמֹנוּ עֲשָׂרָה אֲלָפִים' (שמואל ב יח, ג)".  מכאן שהמספר עשר במקרא, בגלל שהוא המספר הראשון עם ספרת העשרות, פעמים שהוא מציין ריבוי ולאו דווקא את המספר עשר [3]. בשורות הבאות נעסוק בשיטה העשרונית.

השיטה העשרונית היא שיטה מבוססת מיקום להצגת מספרים (שלמים, ובהרחבה גם ממשיים), לפי בסיס 10. הבסיס המקובל לספירה הוא בסיס 10 (הבסיס העשרוני), המשתמש בספרות 0 עד 9. העיקרון בכל שיטת ספירה הוא שערכה של ספרה ברצף כלשהו של ספרות נקבע על פי המיקום שלה ברצף. לדוגמה, בבסיס העשרוני, אנו קוראים לספרה הראשונה משמאל לנקודה העשרונית ספרת האחדות, לשנייה ספרת העשרות, לשלישית ספרת המאות [4] וכו'. כשספרה זזה שמאלה היא שווה פי עשר. לדוגמא, נבדוק את המספר 623. פרוק מספר זה לספרותיו לפי משקליהן (מימין לשמאל), ייתן את הייצוג הבא:

1x3 + 10x2 + 100x6  = 623

שיטת ייצוג זו נראית כיום טבעית ופשוטה, מאחר שלאדם יש עשר אצבעות; ספירה תוך שימוש בעשרות, מאות ואלפים התקיימה עוד קודם לכן, כפי שמעידים שמות המספרים וכתיבתם במילים, לדוגמא: "וַיִּהְיוּ חַיֵּי שָׂרָה מֵאָה שָׁנָה וְעֶשְׂרִים שָׁנָה וְשֶׁבַע שָׁנִים" (בראשית, כג, א); "מֵהֹדּוּ וְעַד כּוּשׁ שֶׁבַע וְעֶשְׂרִים וּמֵאָה מְדִינָה", (מגילת אסתר, א, א). אך שיטה זו היא מבוססת-מיקום (פוזיציונלית) ובה מיקום הסיפרה קובע את חשיבותה (החזקה של 10 בה היא מוכפלת, כפי שהודגם לעיל), רעיון שאינו מובן מאליו.[5]

ערכי הספרות בשיטה העשרונית.
יוצר: Hr.hanafi.
מתוך ויקימדיה

צורת המיקום העשרונית מאפשרת כתיבה קלה של המספרים, תוך שימוש במעט סימנים. היא מקלה על פעולות החשבון בכתיבה במאונך. רוב שיטות הרישום האחרות, שהיו בשימוש לאורך ההיסטוריה (ביניהן ספרות מצריות, ספרות רומיות, וספרות עבריות) אינן מבוססות-מיקום, וביצוע חישובים אריתמטיים בעזרתן הוא מסובך בהרבה.

השיטה המשלבת שימוש בבסיס 10 עם חשיבות לפי מיקום הספרה במספר פותחה בהודו במאה ה-6. הערבים אימצו אותה והשתמשו בה החל במאה ה-9 בעקבות ספר שפרסם המתמטיקאי מוחמד אבן מוסא אל-ח'ואריזמי בשנת 825, שבו סקר את השיטה והשימוש בה. רבי אברהם אבן עזרא (1089-1164), ואחריו פיבונאצ'י (1170-1250) , הביאו את השיטה לאירופה, בה אומצה במהירות כתחליף לשיטה הרומית, וזכתה לשימוש נרחב במסחר ולאחר מכן במדע.

חיבורו של רבי אברהם אבן עזרא, "ספר המספר", פרש לראשונה את הצגתה של מערכת ספירה עשרונית תלוית-מיקום הכוללת את האפס ובכך קדם אבן עזרא לפיבונאצ'י, התורם העיקרי להפצת שיטה זו בעולם המערבי.  בספר זה מוסברים עקרונות אריתמטיים חשובים כגון ארבע פעולות חשבון, שברים, פרופורציות ושורשים ריבועיים. במקום הספרות ההודיות השתמש אבן עזרא באותיות העבריות א-ט, ואת האפס סימן בעיגול, וכינה אותו "גלגל". ספר מתמטי נוסף של אבן עזרא הוא "ספר האחד", העוסק בתכונות המספרים השלמים 1 עד 9, מנקודת מבטן של האריתמטיקה, הגאומטריה, האסטרולוגיה והמיסטיקה [6].

המספר עשר במקרא, פעמים שהוא מציין ריבוי, כי על פי השיטה העשרונית, המבוססת-מיקום, המספר עשר הוא המספר הראשון שנמצא במיקום העשרות, לאחר שתמו ספרות האחדות.

---

[1] שם בדיבור המתחיל תשובות לשאלות ט-י.

[2] ספר השורשים לרבי דוד בן יוסף קמחי הספרדי רד"ק ברלין, 1847, בערך "עשר".

[3] במאמר המוסגר, יש לציין שישנם מספרים נוספים בדברי חז"ל, המציינים ריבוי, כגון: 300, 500  (=ת"ק בגימטריא).

[4] בדומה, לספרה הראשונה מימין לנקודה העשרונית אנו קוראים ספרת העשיריות, לשנייה ספרת המאיות וכו'.

[5] "המכלול –אנציקלופדיה יהודית", בערך "השיטה  העשרונית".

[6] "המכלול –אנציקלופדיה יהודית", בערך "רבי אברהם אבן עזרא".

© כל הזכויות שמורות למחבר

הקשר בין תאריך הלידה לתאריך הפטירה

 מאת: אורן סעיד

משה רבינו חי 120 שנה והוא נפטר באותו תאריך שהוא נולד - ז' באדר. מחקר מגלה שליום הפטירה יש קשר ליום ההולדת.

נאמר בפרשתנו פרק לא פסוק ב: "ויאמר אלהם בן מאה ועשרים שנה אנכי היום לא אוכל עוד לצאת ולבוא...". רש"י מפרש בד"ה אנכי היום: "היום מלאו ימי ושנותי ביום זה נולדתי וביום זה אמות". משה נולד בתאריך ז באדר ונפטר בתאריך זה. גם האבות, אברהם יצחק ויעקב, נפטרו באותו יום שנולדו (ע"פ תלמוד בבלי, ראש השנה, יא, א). הסיבה לכך היא שהקב"ה ממלא שנותם של צדיקים; וכך נאמר בתוספתא סוטה: "ומנין שבשבעה באדר נולד משה שנאמר (דברים לא,ב): 'ויאמר אליהם בן מאה ועשרים שנה אנכי היום' שאין תלמוד לומר היום ומה תלמוד לומר היום ? מלמד שהיום מלאו שנותיו; דבר אחר מה תלמוד לומר היום מלמד שהן מאה ועשרים שנה מכוונות מיום ליום; דבר אחר מה תלמוד לומר היום מלמד שהקב"ה משלים שנותן של צדיקים ברצון ובשמחה שנאמר (שמות כג, כו): 'את מספר ימיך אמלא' " (יא, ו).

האם יש קשר כלשהו בין תאריך הלידה לתאריך הפטירה?

יום הולדת שמח?
יש קשר בין התאריך החגיגי ועיתוי הפטירה.
מתוך ויקימדיה

בכל השפות אומרים: יום הולדת שמח. אבל, לא תמיד זה באמת שמח. במחקר רחב-היקף, ראשון מסוגו שבוצע בארה"ב[1], נמצא כי יש קשר בין התאריך החגיגי ועיתוי הפטירה. התברר, שיום ההולדת הוא המועד המסוכן ביותר. אנשים מתים סמוך ליום הולדתם, לא ברור בדיוק למה. המחקר מבוסס על ניתוח נתונים של 2,745,149 גברים ונשים שנפטרו בקליפורניה בין השנים 1969-1990. צוות חוקרים ממספר מרכזים בדק את הגורמים הלא-שגרתיים בחיי האדם, כמו: יום הולדת, יום נישואין, ולידות במשפחה. בסקר לא נכללו קרבנות תאונות דרכים, רצח והתאבדויות, או חולים לאחר ניתוחים, אלא רק מקרי 'מוות טבעי'.

החוקר שריכז את הנתונים, הסוציולוג פרופ' דיויד פ.פיליפס, מאוניברסיטת סן-פרנסיסקו, אמר: "גם אנחנו הופתענו לגלות שליום הפטירה יש קשר ליום ההולדת, אם כי קיים הבדל בין השפעת התאריך על גברים ונשים". אז מה קורה אחרי גיל 40, בשבוע שלפני או אחרי יום ההולדת?

ראשית, יותר נשים נפטרות שבוע לאחר יום הולדתן-מאשר שבוע לפני המועד. לעומת זאת, גברים נפטרים יותר לפני יום ההולדת ולא אחריו[2]. לדעת פרופ' פיליפס, נשים שונות מגברים בעצם החשיבות שהן מעניקות ליום ההולדת, המסמל שנה חדשה בחייהן. נשים, יותר מגברים, מתכננות לחגוג יום הולדת בחיק המשפחה בכל גיל. גם נשים לא צעירות ולא בריאות, מחכות ליום ההולדת, הן מדחיקות כאבים ומחלות, ולא נותנות לשום דבר לקלקל להן את השמחה לפני. עצם הכמיהה לחגיגה מעניקה לנשים כוחות נפשיים עליונים. זה לא עובד על גברים, כנראה.

אצל נשים ניצפו מקרי מוות בסמוך לתאריך של הפלה או מות ילד, אירוע טראומטי שקרה בצעירותן. אצל גברים היה מספר רב של מקרי-מוות סמוך לתאריך פטירת האב. ליום-שנה לנישואין, לא היתה השפעה על בני שני המינים.

פרופ' פיליפס הופתע לגלות, שמכל 52 השבועות של השנה, השבוע שלפני יום ההולדת של גברים, הוא השבוע בו קורים יותר מקרי-מוות, מכל שבוע אחר בשנה.

פיליפס: "אין לנו הסבר מדעי-פסיכולוגי מאחר ועבדנו על ניתוח נתוני תיקי פטירות, ולא דיברנו עם אנשים מדוע יותר גברים נפטרים לפני יום ההולדת, ואילו נשים 'דוחות' את זה לשבוע שאחרי יום ההולדת. זו עובדה סטטיסטית".

פרופ' פיליפס העלה השערה שייתכן, שנטל עול כלכלי ואולי בדידות, משפיעים לרעה על הלך רוחם הפסימי של גברים מבוגרים, והם לוקים בדיכאון עד מוות, בדיוק לפני יום ההולדת, ולא אחריו. אם לגבר יש בעיות, והוא רואה-שחורות, אז מועד יום-ההולדת המתקרב אינו מבשר עבורו אביב או תקווה, אלא סיום סמלי של תקופת כשלון וייאוש.

פרופ' ג'ואל דימסדייל, פסיכיאטר מאוניברסיטת סן דייגו, שנמנה עם צוות החוקרים, טען, שההבדלים בשיעורי מקרי המוות בין גברים ונשים שבוודאי סבלו ממחלה בגיל מבוגר נובעים מההתייחסות השונה שיש לגברים ולנשים למחלות, כוח סבל, אמונה, תקוות, ייאוש ורצון חיים. אגב, גם אצל חולים סופניים נמצאה עלייה במקרי פטירה סמוך ליום ההולדת.

מחקר קודם של דיוייד פיליפס

בשנים המוקדמות של שנות 1970 פירסם דיוייד פיליפס מחקר סטטיסטי, בה הוא טען כי לעתים קרובות, אנשים מפורסמים יכולים לדחות מותם עד לאחר יום ההולדת שלהם, על מנת שיוכלו להשתתף בחגיגות יום הולדתם. זאת ע"פ הממצאים הסטטיסטיים שגילה, המראים ששכיחות הפטירות של אנשים אלה גבוהה יחסית בחודשים שאחרי חודש יום ההולדת מאשר בחודשים הקודמים לחודש יום ההולדת. ברם, יש החולקים[3] על מסקנותיו של דיוויד פיליפס ועל הדרך שבה בדק את הנושא. כמו כן ניסיונות נוספים שנעשו לשחזר את הממצאים הסטטיסטיים שפיליפס מצא ע"י מדגמים נוספים עלו בתוהו. גם במקרים בהם נמצאה שכיחות גבוהה יותר של אנשים שנפטרו לאחר תאריך הלידה שלהם, אין זה בגלל יכולתם של אנשים אלו לדחות את יום הולדתם, אלא מסיבות אחרות, כגון: חרדה הקשורה לציון יום ההולדת או מפני ההגזמה בהוצאות בחגיגות יום ההולדת.

חג הפסח ותאריך הפטירה

פיליפס גילה במחקר קודם מימצא שצריך לעניין אותנו: שכיחות מקרי-המוות בין נשים וגברים יהודים גבוהה ב-31% בשבוע שלפני פסח, בהשוואה לכל תקופה אחרת בשנה, מיד לאחר החג חלה ירידה תלולה בשיעור הפטירות.

 

---

[1] New York Times,"Birthdays: a Matter Of Life and Death";,By SANDRA BLAKESLEE, Published: September 22, 1992.

"The Survivors Club: The secrets and science that could save your life", by Ben Sherwood‏,Penguin UK, 2009, chapter 10

[2] מחקר זה, כמובן, אינו סותר את מאמר חז"ל ש-ה' ממלא שנותם של צדיקים: שהרי המחקר גילה, שיש נטייה סטטיסטית לאנשים למות שבוע לפני או שבוע אחרי יום ההולדת ואילו מאמר חז"ל מציין שצדיקים (דווקא!) נפטרים בדיוק ביום ההולדת; כמו כן המחקר מתייחס לתאריכים לועזיים בעוד מאמר חז"ל מתייחס לתאריכים עבריים.

[3] ראה במצגת "A Matter of Life and Death" מאת Alisa Beck, Marcella Gift, Katie Miller וכן במאמר " Can the Famous Really Postpone Death? " של Gary Smith and Heather Royer

© כל הזכויות שמורות למחבר