המטה האמצעי

 מאת: אורן סעיד

מטה אהרון הונח באמצע המטות של שאר השבטים. נחלקו הפרשנים במספר סך הכול המטות שהונחו.

בפרשתנו אנו קוראים על ציווי ה', לקחת  שנים עשר מטות משנים עשר השבטים, ובתוכם המטה של אהרן הכהן - משבט לוי:  "וַיְדַבֵּר משֶׁה אֶל בְּנֵי יִשְׂרָאֵל וַיִּתְּנוּ אֵלָיו כָּל נְשִׂיאֵיהֶם מַטֶּה לְנָשִׂיא אֶחָד מַטֶּה לְנָשִׂיא אֶחָד לְבֵית אֲבֹתָם שְׁנֵים עָשָׂר מַטּוֹת וּמַטֵּה אַהֲרֹן בְּתוֹךְ מַטּוֹתָם" (יז, כא).  מבאר רש"י: "בתוך מטותם - הניחו באמצע, שלא יאמרו מפני שהניחו בצד שכינה פרח" (שם). כך גם מתרגם בתרגום יונתן: "וּמַטֵּה אַהֲרֹן בְּתוֹךְ מַטּוֹתָם - וְחוֹטֶר אַהֲרן בִּמְצִיעוּת חוּטְרֵיהוֹן" (שם), שמטה אהרון הונח באמצע המטות. מקור דברי רש"י הוא במדרש תנחומא: "בְּתוֹךְ מַטּוֹתָם – הִנִּיח בְּאֶמְצַע; שֶׁלֹּא יֹאמְרוּ: מִפְּנֵי שֶׁהִנִּיחוֹ בְּצַד שְׁכִינָה פָּרַח" (מדרש תנחומא אחרי מות ח). לפי פירושים אלו, מטה אהרון הונח באמצע מטות השבטים[1].

כמה מטות הונחו? קיימת מחלוקת בין המפרשים האם היו 12 מטות או 13 מטות, כפי שמסכם המלבי"ם: "וצווהו לקחת 12 מטות, ובזה נחלקו המפרשים, יש אומרים[2] שהיו 12 מטות חוץ משבט לוי, ויש אומרים[3] שהיו עם שבט לוי, ולפי זה צריך לומר, שבית יוסף היו למטה אחד, ולא לקחו מטה רק מאפרים כי ידעו מברכת יעקב שלא יבחר במנשה נגד אפרים" (במדבר יז, יז). המלבי"ם מבאר, שיש אומרים שהיו 13 מטות עם שבט לוי, ויש אומרים שהיו סך הכל 12 מטות עם שבט לוי; ולשיטה זו צריך לומר, שמהשבטים מנשה ואפרים, בני יוסף,  לקחו רק מטה אחד, של שבט אפרים.

מטה אהרון באמצע המטות.

על פי המדרש, משה לא לקח מטה אחד מכל שבט, אלא לקח מטה אחד וחתך אותו ל-12 חתיכות[4]: "ואית דאמרי (=יש אומרים) נטל משה קורה אחת וחתכה לשנים עשר נסרים ואומר להם כולכם מקורה אחת טלו מקלכם" (במדבר רבה, פרשת יח אות כג). 

לשיטות הסוברים שהיו 13 מטות אזי מטה שבט לוי - מטה אהרון  היה המטה השביעי, בדיוק באמצע בין מטות השבטים. לשיטות הסוברים שהיו 12 מטות – היכן הונח מטה אהרון?

במתמטיקה, סדרה חשבונית היא סדרה של מספרים, שבה ההפרש בין כל שני איברים עוקבים הוא קבוע. לדוגמה, בסדרה: 3, 5, 7, 9, 11, 13, ..., ההפרש בין כל שני איברים עוקבים הוא מספר קבוע, במקרה זה 2. בסדרה חשבונית, כל איבר (פרט לאיברים שבקצוות) מהווה ממוצע חשבוני של האיבר הקודם והאיבר העוקב לו, ומכאן שְׁמָהּ[5].

מהו האיבר האמצעי בסדרה חשבונית[6] ? 

במקרה שיש בסדרה מספר אי-זוגי של איברים, האיבר האמצעי הוא האיבר שנמצא באמצע הסדרה. לדוגמא, בסדרה שיש בה 5 איברים: 3, 5, 7, 9, 11, האיבר האמצעי הוא 7, כי הוא נמצא באמצע הסדרה, במקום השלישי. 

במקרה שיש בסדרה מספר זוגי של איברים, ישנם שני איברים אמצעיים: האיבר שנמצא במקום של מספר האיברים בסדרה חלקי 2, והאיבר הבא אחריו. לדוגמא, בסדרה שיש בה 4 איברים: 2,4,6,8, שני האיברים האמצעיים הם: 4  - כי האיבר 4 נמצא במקום השני (מספר האיברים בסדרה הוא 4, לחלק ל- 2,  התוצאה 2=האיבר השני), והאיבר הבא אחריו - במקום השלישי: 6. 

לפי זה אולי נוכל לומר, שלפי הדעה שהיו 12 מטות סך הכול, אז מטה אהרון הונח באמצע: או שהיה המטה השישי (מספר המטות הוא 12, לחלק ל- 2, התוצאה 6=המטה השישי) או המטה השביעי (המטה הבא אחריו).

אמצע גן עדן

בדרך אגב לנושא המטה האמצעי, נעסוק במקום נוסף, בו רש"י ציין שמדובר ב"אמצע". בספר בראשית התורה מספרת לנו על מיקום עץ הדעת ועץ החיים בגן עדן: "וְעֵץ הַחַיִּים בְּתוֹךְ הַגָּן וְעֵץ הַדַּעַת טוֹב וָרָע" (בראשית ב, ט). רש"י מבאר שעצים אלו היו האמצע גן עדן: "בתוך הגן - באמצע הגן" וכן תרגם אונקלוס: "בתוך הגן - בִּמְצִיעוּת גִּינְתָא [=באמצע הגן]" (שם).

הרד"ק מבאר שעצים אלו היו באמצע הגן, כי שם הם נשמרים יותר: "ועץ החיים בתוך הגן ועץ הדעת טוב ורע. בתוך - כתרגומו: 'בִּמְצִיעוּת גִּינְתָא' (תרגום אונקלוס); והדבר יהיה נשמר יותר באמצע המקום, מפני שהדברים שהם סביביו יהיו כחומה לו; והדבר החביב והנאהב לאדם - ישימנו בתוך הדברים האחרים, כדי שיהיו לו חומה ומשמרת" (שם).

הרמב"ן מבאר שהיתה ערוגה אחת באמצע הגן בה גדלו עץ הדעת ועץ החיים: "וְעֵץ הַחַיִּים בְּתוֹךְ הַגָּן וְעֵץ הַדַּעַת טוֹב וָרָע - בעבור שאמר הכתוב וְעֵץ הַחַיִּים 'בְּתוֹךְ הַגָּן' ולא אמר "בגן" ועוד שאמר (להלן ג, ג) 'וּמִפְּרִי הָעֵץ אֲשֶׁר בְּתוֹךְ הַגָּן אָמַר אֱלֹהִים לֹא תֹאכְלוּ' שלא הזכירו ולא הודיעו בשם אחר, נאמר לפי פשוטו שהוא מקום ידוע בגן שהוא בתוך ולכך תרגם אונקלוס 'בִּמְצִיעוּת גִּינְתָא'; והנה לדבריו, עֵץ הַחַיִּים וְעֵץ הַדַּעַת שניהם היו באמצע, ואם כן נאמר שהוא כאלו תעשה באמצע הגן ערוגה אחת סוגה ובה שני האילנות האלה ויהיה האמצע הזה אמצע רחב, כי אמצע הדק כבר אמרו שאין יודע בו אמיתת הנקודה בלתי השם לבד" (בראשית ב, ט).

אנו לא יודעים מה היתה הצורה של גן עדן בשביל לדמיין מהו בדיוק אמצע גן עדן. בדרך אגב לפירוש, שעץ החיים ועץ הדעת היו במרכז גן עדן, נציין בקצרה, את הדרכים למציאת נקודות אמצע של מספר צורות גיאומטריות פשוטות.[7]

מעגל: את מרכז המעגל ניתן למצוא באמצעות שרטוט 2-3 קווים ישרים המחברים בין שתי נקודות של מעגל ולא עוברים במרכז המעגל. מדידת האמצע  של כל אחד מהקווים באמצעות סרגל. לאחר מכן לצייר את האנך מנקודת האמצע של כל אחד מהישרים. נקודת המפגש של האנכים הוא מרכז המעגל.[8]

מקבילית: בכל מקבילית (כולל ריבוע, מלבן ומעויין), נקודת המרכז היא נקודת מפגש האלכסונים. לפי משפטי גיאומטריה בסיסיים: אם שני זוגות של צלעות נגדיות שוות ומקבילות, אז האלכסונים חוצים זה את זה. נקודת מפגש האלכסונים היא הנקודה היחידה שמחלקת את כל הצורה לארבעה משולשים חופפים ולכן זו נקודת המרכז הגיאומטרי של המקבילית[9].

---

[1] אבל תרגום אונקלוס תירגם: "בְּתוֹךְ מַטּוֹתָם - בְּגוֹ חוּטְרֵיהוֹן". לפי תרגום זה, מטה אהרון לא הונח בדיוק באמצע, אלא בתוך המטות, כפי שפירש רבי אליהו מזרחי את תרגום אונקלוס: "בתוך מטותם - הניחו באמצע, שלא יאמרו, מפני שהניחו בצד השכינה פרח. אבל אונקלוס לא תרגמו 'בִּמְצִיעוּת חוּטְרֵיהוֹן', כמו שתרגם "בְּתוֹךְ הַגָּן - בִּמְצִיעוּת גִּינְתָא" (בראשית ב, ט), אלא "בְּגוֹ חוּטְרֵיהוֹן" (במדבר יז, כ), מפני שמלת תוך בכל מקום מורה על תוך הגבול או הגבולים המקיפים בתמונה השטחית או הגשמית, לא על הנקודה האמצעית שבה. ותרגומה בלשון ארמית 'גוֹ', כי תרגום "בְּתוֹךְ הָעִיר -  בְּגוֹ קַרְתָּא" (בראשית יח, כד), ותרגום "אֶל תּוֹכוֹ -  לְגַוֵּיהּ" (ויקרא יא, לג) ותרגום "בְּתוֹךְ הַיָּם -  בְּגוֹ יַמָּא" (שמות יד, כז) אף כאן "בְּתוֹךְ מַטּוֹתָם - בְּגוֹ חוּטְרֵיהוֹן" (שם), אבל גבי 'בְּתוֹךְ הַגָּן', שאי אפשר לפרשו כמשמעו, שאם כן לא היה צריך לכותבו, כי כבר כתוב 'וַיַּצְמַח ה' אלוקים מִן הָאֲדָמָה' (בראשית ב, ט), שפירושו מאדמת הגן, הוכרח לתרגם אותו 'בִּמְצִיעוּת גִּינְתָא', שפירושו על הנקודה האמצעית שבכאן [שבגן], וכן פירש רש"י שם 'בְּתוֹךְ הַגָּן - באמצע, (שם). ואפשר שרש"י ז"ל מצא פה אגדה שפרשה: הניחו באמצע, ולפיה פירשו כן, לא שמלת בתוכם מורה על זה" (יז, כא).

[2] המפרשים הסוברים שהיו 13 מטות: פירוש העמק דבר (במדבר יז, יז), פירוש "זבד טוב" פרשת קורח.

[3] המפרשים הסוברים שהיו 12 מטות: רמב"ן (במדבר יז, יז), רבי אברהם אבן עזרא (במדבר יז, כ), אור החיים (במדבר יז, יח) ועוד.

[4] וכך גם פירש האור חיים: "ואת שם אהרן תכתוב על מטה לוי וגו'. ממה שלא צוה מקודם, לקחת מטה למטה לוי, יגיד כי הוא בכלל הי''ב מטות, שאמר בסמוך שנים עשר מטות ומטה לוי בכלל הי''ב, ואפשר לומר שככה עשו, שלקחו עץ אחד וחלקוהו לי''ב חלקים, וכל שבט לקח שיבא מכשורא, ואין הפרש בין של אהרן לשל כולן, שבזה יצדק המבחן, ובזה ידוייק מאמר הכתוב ויתנו אליו כל נשיאיהם וגו' ומטה אהרן בתוך מטותם, פירוש חלק א' מתוך העץ שממנו לקחו מטותם" (שם, יח).

[5] פרקי מתמטיקה, יח' 09-07, יחידות 7-9. האונ' הפתוחה בישראל, 1977,  יחידה 8 - סדרה חשבונית, עמ' 12-16.

[6] Class X Mathematics CBSE Reference Material: Class X Mathematics‏. (2023). (n.p.): ‪Vidhathri Academy‏. Page 86.

[7] לנקודת המרכז של משולש מספר הגדרות  ולכן לא נעסוק בו במסגרת מאמר זה. על נקודת המרכז של משולש ראה במקור הבא:

‪Ryan‏, ‪M‏., ‪Arnone‏, ‪W‏. (2008). ‪Geometry For Dummies‏. Britain: ‪Wiley‏. Pages 102-105.

לגבי נקודת המרכז של צורות מורכבות יותר, ראה במאמר הבא:

Kiss, S. N. (2015). On the Wittenbauer Type Parallelograms. International Journal of Geometry. Vol. 4

[8] How to Do Absolutely Everything: Homegrown Projects from Real Do-It-Yourself Experts‏. (2013). Beitain: ‪Skyhorse‏.pages 316-317.

[9] ‪Gelfand‏, ‪I‏. ‪M‏., ‪Alekseyevskaya (Gelfand)‏, ‪T‏. (2020). ‪Geometry‏. Germany: ‪Springer New York‏. page 137.

Euclid, Elements, Book I, Proposition 34–35, Clark University site.

© כל הזכויות שמורות למחבר