מאת: אורן סעיד
הפרשנים התייחסו לעובדה שכמעט כל המספרים המופיעים במפקדי השבטים נראים כמספרים עגולים, כלומר: בלא יחידות ואפילו לרוב בלא עשרות.
בפרשתנו מופיע הציווי והביצוע של מפקדי השבטים, בשנה השנית לצאתם מארץ מצרים. המיפקד הוא רק ל"יוצאי צבא" - אנשים המסוגלים לצאת למלחמה, זכרים מבן עשרים שנה ומעלה (א, ג).
היו שלושה מפקדים:
א. בשנה הראשונה לצאתם ממצרים, סה"כ מנו בני ישראל 603,550 נפש (שמות לח, כו), ע"פ תוצאות הספירה של מחציות השקלים.
ב. בשנה השנייה לצאתם ממצרים, סה"כ מנו בני ישראל (ללא שבט לוי) 603,550 נפש (במדבר א, מו).
ג. בשנת הארבעים לצאתם ממצרים, סה"כ מנו בני ישראל (ללא שבט לוי) 601,730 נפש (במדבר כו, נא).
המספרים של מפקדי השבטים, מעוררים תמיהה, שהרי המספרים עגולים! כמעט כל המספרים מתחלקים ב-100 ! גם המספרים שלא מתחלקים במאה, הם מתחלקים ב-10! האם המספרים באמת מעוגלים ולא מדויקים[1]?
|
|
מפקד השבטים בפרשתנו ובערבות מואב. |
אפשר היה להסביר את התופעה הזאת כנס[2], ברם, הסבר זה בעייתי, מהטיעון הפשוט, שאין נס בלא משמעות או בלא תועלת.
הרה"ג יעקב קמינצקי זצ"ל מבאר [3] שההיררכיה של שרי בני ישראל הייתה באופן הבא: שרי אלפים, שרי מאות, שרי חמישים ושרי עשרות, אך לצורך המפקד, השתמשו בשרי חמישים, כי היא היתה המסגרת הקטנה ביותר בה התארגנו למלחמה [4]. כל הנמנים שהיו יתרים על חמישים, צורפו לשרי חמישים אחרים, ובמקרה הצורך שבו לא היה ניתן לצרף את האנשים ליחידה שלימה של חמישים אנשים, התורה עיגלה את מספרם, וכך יצא שסכום מניינם של כמעט כל השבטים הם סכומים מתחלקים בחמישים או במאה. רק אצל שבט ראובן הסכום מסתיים בשלושים, מאחר ובני שבט ראובן השתתפו במחלוקת קרח ועדתו, והתורה רצתה להנציח את העונש של המשתתפים בעדת קרח, לכן השאירו יחידה צבאית אחת שהיו בה רק שלושים חיילים.
דרך התורה בעיגול מספרים
במניינם של בני יעקב הבאים מצרימה יש בעיה: הסך הכולל שמציינת התורה הוא שבעים, אך כאשר מונים את כל הנפשות יש ששים ותשע נפשות בלבד [5] (בראשית מו, ז-כז). מבאר רבי אברהם אבן עזרא, שהתורה מעגלת מספרים, כאשר חסר אחד: "שבעים - ... ואם טען טוען ויאמר כי הנה כתוב: 'וַיְהִי כָּל־נֶפֶשׁ יֹצְאֵי יֶרֶךְ יַעֲקֹב שִׁבְעִים נָפֶשׁ' (שמות א, ה) ? דע כי הכתוב לא חשש להוציא אחד משבעים... כי לא הלך הכתוב כי אם אחר הרוב" (בראשית מו, כז). גם הרמב"ן אימץ שיטה זו של "עיגול" מספרים, כפי שכתב בהשגותיו על ספר המצוות של רמב"ם (שורש א): "מנהג חכמים בתלמוד וגם בתורה ובנביאים כן, שלא יחושו להוציא דבר אחד מן הכלל , וידברו על הרוב". בין דוגמאותיו לתופעה שגם במקרא הכתוב מדבר בהכללה, "על הרוב", ואינו חושש ל"דבר אחד", לפריט אחד, הוא מביא את הפסוק על שבעים יוצאי ירך יעקב (בראשית מו, כז).
הפרשן רבי ישעיה דיטראני (רי"ד), גדול חכמי איטליה במאה השלוש-עשרה, בפירושו לתורה, הקרוי 'נימוקים' לחומש, מבאר שדרך התורה לעגל את המספרים: "פְּקֻדֵיהֶם לְמַטֵּה רְאוּבֵן שִׁשָּׁה וְאַרְבָּעִים אֶלֶף וַחֲמֵשׁ מֵאוֹת - תימה: וכי אפשר שלא היה חסר אחד או שניים מן הכללים שאומר כאן, או יותר? ויש לומר: שאין הכתוב מקפיד בזה, כדכתיב (ויקרא כג, טז) 'תִּסְפְּרוּ חֲמִשִּׁים יוֹם' - ואינן אלא ארבעים ותשעה. וכן (דברים כה, ג) 'אַרְבָּעִים יַכֶּנּוּ' והם שלושים ותשעה (מכות כב, א)". הרי"ד מבאר שבמפקדי השבטים התורה מעגלת מספרים. כהוכחה לדבריו, הוא מציין שתי דוגמאות הלכתיות בהן התורה משתמשת בעיגול: ספירת העומר ומלקות.
גם הרא"ש מבאר את הדרך התורה בעיגול מספרים: "יש מקשין: כיוון דקרא קאמר [= שהפסוק אומר] 'תִּסְפְּרוּ חֲמִשִּׁים יוֹם', למה אין אנו מונין אלא תשע וארבעים יום? ודוחקין לפרש הפסוק 'עַד מִמָּחֳרַת הַשַּׁבָּת' - שהוא יום חמשים – 'תִּסְפְּרוּ'; אי נמי [= או גם]: 'חֲמִשִּׁים יוֹם' א'וְהִקְרַבְתֶּם' דבתריה קאי [= על 'וְהִקְרַבְתֶּם' שאחריו הוא עולה], והכי קאמר [= וכך הוא אומר]: 'עַד מִמָּחֳרַת הַשַּׁבָּת תִּסְפְּרוּ' - ולא עד בכלל – 'חֲמִשִּׁים יוֹם, וְהִקְרַבְתֶּם מִנְחָה חֲדָשָׁה לַה' ; ולי נראה, שאין אנו צריכין לדחוקות הללו. כיוון דכתב ביה בהדיא (- שכתוב בו בפירוש) 'שִׁבְעָה שָׁבֻעֹת תִּסְפָּר לָךְ' (דברים טז, ט) - אין לספור יותר משבעה שבועות. ומ'תִּסְפְּרוּ חֲמִשִּׁים יוֹם' - לא קשיא מידי [= לא קשה דבר], שכן דרך המקרא, כשמגיע המניין לסכום עשירית פחות אחת - מונה אותו בחשבון עשירית, ואינו משגיח על חסרון האחד ; כיוצא בו 'כָּל הַנֶּפֶשׁ לְבֵית יַעֲקֹב הַבָּאָה מִצְרַיְמָה שִׁבְעִים' (בראשית מו, כז); וכן 'אַרְבָּעִים יַכֶּנּוּ' (דברים כה, ג)" (פסקי הרא"ש, פסחים, סימן מ).
הרא"ש כותב שדרך המקרא לעגל לעשרות, כאשר הסכום הוא פחות אחד מהמספר המעוגל. הוא מציין שבספירת העומר, קיימת סתירה: מצד אחד התורה מצווה לספור חמישים יום אך מצד שני מצווה לספור שבעה שבועות, שהם ארבעים ותשע ימים. הוא מתרץ, שהמספר חמישים הוא מעוגל. גם לגבי ציווי התורה להלקות את החייב ארבעים פעמים, המספר ארבעים הוא מעוגל, שהרי חז"ל דרשו שהכוונה ל-שלושים ותשע פעמים (מכות כב).
הביאור שנתן הרא"ש לפסוק "כָּל הַנֶּפֶשׁ לְבֵית יַעֲקֹב הַבָּאָה מִצְרַיְמָה שִׁבְעִים" (בראשית מו, כז) הוא הקרוב ביותר לענייננו, שהרי גם בפסוק ההוא מדובר במניין נפשות, מעין המפקד שבפרשתנו. א"כ, אפשר לומר גם כאן, שבמספרים גדולים, עשרות ומאות אלפים, דרך המקרא לעגל למאות שלמות בשיעור הרבה יותר מאחד. ולכן אין קושי לומר, שהמספרים המופיעים במפקדי השבטים הם מעוגלים!
יש לציין, שהמספרים של מנין הלווים (22,000) והבכורות (22,273) הם מדויקים, כי היה צורך לפדות את הבכורות בלויים.
ברם, איך נתייחס, למספרים הבאים, שמעוגלים לעשרות ולא למאות:
א. מספר הפקודים של שבט גד בפרשתנו 45,650 (א, כה).
ב. מספר הפקודים של שבט ראובן בפרשת פינחס 43,730 (כו, ז).
ביאור פרופסור עלי מרצבך
פרופסור עלי מרצבך, מהמחלקה למתמטיקה באוניברסיטת בר-אילן, עסק בשאלה זו במאמרו "מפקדי בני ישראל במדבר"[6], הנה קטעים אחדים מתוך מאמרו:
"נראה לי שאפשר... [להסביר את התופעה] בהסתמך על הכללים הבאים, המתייחסים למספרים די גדולים (בוודאי נכון עבור מספרים גדולים מ-5,000):
א. כאשר המספר שהתקבל היה בעשרות שלמות (בלא יחידות), אז התורה כתבה אותו כמות שהוא ולא עיגלה אותו.
ב. כאשר המספר שהתקבל לא היה בעשרות שלמות, אז התורה עיגלה אותו למספר המאות הקרוב ביותר.
לכללים אלו סברה פשוטה: אם כבר מעגלים מספר המסתיים ביחידות, אז מעגלים אותו למאות (עם טעות קטנה מִמֵּאִית). אבל אם המספר מסתיים בעשרות - משאירים אותו כמות שהוא.
אם נעיין בנתוני התורה, הדבר בולט באופן ברור לחלוטין. בכל אחד משני מפקדי בני ישראל במדבר, מתוך 12 נתונים, 11 מהם כפולות של מאות; ואילו אחד (במפקד הראשון מדובר על שבט גד ובמפקד השני - על שבט ראובן) הוא כפולה של עשרות. ההסתברות שמספר כלשהו מסתיים באפס אבל אינו כפולה של מאה שווה ל-9/100, ולכן אם בוחרים 12 מספרים כלשהם, תוחלת מספר ההופעות של מספרים בעלי תכונה זו שווה ל 12X 9/100 = 1.08. במלים אחרות: בממוצע, מתוך 12 מספרים, אחד מהם יהיה כפולה של עשרות (ולא כפולה של מאות). יתירה מזו: אם נחשב את ההסתברויות השונות (לפי התפלגות בינומית), מתברר שההסתברות הגדולה ביותר מתקבלת שוב כאשר יש בדיוק מספר אחד מהצורה הזאת מתוך 12 מספרים.
עתה מובן היטב, מדוע התורה הייתה צריכה לכתוב את הסיכומים של בני ישראל בשני המפקדים. ואמנם כיוון שכל המספרים מעוגלים, היה יכול להיווצר מצב, שהסיכום הכללי המתקבל יהיה רחוק מאוד ממספר המפקד האמתי. באופן תיאורטי, לגבי מפקד בני ישראל, הסטייה יכולה להגיע ל - 588 נפשות. אכן אם, למשל, מספר הפקודים לגבי כל שבט מסתיים במספר 49, ואז מעגלים למספר המאות הקטן, כך שאחרי סיכום כל השבטים מתקבל מספר קטן ב - 588 (ולמעשה 600 אחרי עיגול) ממניין הפקודים האמתי. כמובן, דוגמא זו היא קיצונית מאוד, ובאופן מעשי ישנו משפט מתמטי, שעל פיו, ככל שמסכמים יותר מספרים, הסטיות הנובעות מהקירובים למספרים הקרובים ביותר נוטות להתקזז ביחד. ובאופן מעשי זה בדיוק מה שקרה לגבי מפקדי בני ישראל. כל הסטיות, כלפי מעלה וכלפי מטה, התקזזו, כך שהסיכום התאים למניין הפקודים (כמובן, עד כדי חמישים בקירוב), ולכן היה חשוב מאוד למסור בתורה את כל חשבונות הסיכומים".
[1] על פי המאמר של הרב אלחנן סמט ,"המפקדים - שיטת עיגול המספרים במפקדי בני ישראל", עיונים בפרשת השבוע כרך ב', סדרה שניה, הוצאת מעליות, ירושלים תשס"ד. המאמר המקוון באתר "דעת".
[2] השוואת מספר האוכלוסין הכולל של בני ישראל בשלושת המפקדים מעלה כי בשני המפקדים הראשונים היה מספר הנפקדים זהה, בעוד ההפרש בין המפקד השלישי (שנת הארבעים) לשני המפקדים הראשונים הוא מצומצם ביותר. המלבי"ם מבאר שהסיבה שבשני המפקדים הראשונים היה מספר הנפקדים זהה, שמדובר בהשגחת ה': "והיה זה בהשגחת ה' שכולם האריכו ימים" (במדבר א, א). האברבנאל כותב דברים דומים להסבר ההפרש המצומצם בין שני המניינים הראשונים לשלישי: "והיה מהשגחת השם על עמו ששמר מספרם" (במדבר כו). באותו אופן אפשר לכאורה לומר על המספרים העגולים של מפקדי השבטים.
[3] בספרו "אמת ליעקב" בפרשת פנחס על הפסוק בפרק כו פס' ח.
[4] להוכחת העניין מביא הרב קמינצקי שני פסוקים: פסוק מספר שמואל בתיאור משפטי המלך: "וְלָשׂוּם לוֹ שָׂרֵי אֲלָפִים וְשָׂרֵי חֲמִשִּׁים" (שמואל א, ח, יב) ואילו שרי מאות ושרי עשרות לא הוזכרו כאן, ופסוק נוסף מספר מלכים: "וַיִּשְׁלַח אֵלָיו שַׂר-חֲמִשִּׁים, וַחֲמִשָּׁיו" (מלכים ב, א, ט).
[5] ראה גם מאמרו של שמואל כהן, "כל הנפש לבית יעקב הבאה מצרימה שבעים", בדף השבועי מאת היחידה ללימודי יסוד ביהדות באונ' בר-אילן, פרשת ויגש, תשס"ה.
[6] בכתב העת 'הגיון', מחקרים בדרכי החשיבה של חז"ל, כרך ה, תשס"א (עמ' 97-104). ראה גם בדף השבועי, מס' 238, מאת המרכז ללימודי יסוד ביהדות, אונ' בר אילן, במאמר "מפקדי בני ישראל", פרופ' עלי מרצבך.
© כל הזכויות שמורות למחבר
אין תגובות:
הוסף רשומת תגובה