המספר עשר במקרא ובשיטה העשרונית

 מאת: אורן סעיד

המספר "עשר"במקרא, פעמים שהוא מציין ריבוי ולאו דווקא את המספר עשר, משום שמספר זה הוא תחילת העשרות וסוף האחדות.

נאמר בפרשתנו, שבני ישראל היוצאים ממצרים, ניסו את ה' "עשר פעמים": "כִּי כָל הָאֲנָשִׁים, הָרֹאִים אֶת כְּבֹדִי וְאֶת אֹתֹתַי, אֲשֶׁר עָשִׂיתִי בְמִצְרַיִם, וּבַמִּדְבָּר; וַיְנַסּוּ אֹתִי, זֶה עֶשֶׂר פְּעָמִים, וְלֹא שָׁמְעוּ בְּקוֹלִי" (יד, כב). רש"י מבאר, על פי התלמוד בבלי מסכת ערכין, שבני ישראל ניסו את ה' בדיוק עשר פעמים: "תניא אמר ר' יהודה: עשר נסיונות ניסו אבותינו להקב"ה: שנים בים ושנים במים, שנים במן, שנים בשליו, אחת בעגל ואחת במדבר פארן" (ערכין טו, א).  לעומת זאת, רבי אברהם אבן עזרא  מבאר שאין כוונה בדיוק לעשר ניסיונות אלא להרבה ניסיונות: "זה עשר פעמים – הטעם רבים; והזכיר עשר - בעבור היותו סך חשבון, כי הוא סוף האחדים וראש העשרות שהם במחברת השנית". כך גם פירש הרשב"ם: "עשר פעמים - הרבה. כמו: 'עֲשֶׂרֶת מֹנִים' (בראשית לא, ז) 'וְאָפוּ עֶשֶׂר נָשִׁים' (ויקרא כו, כו), 'זֶה עֶשֶׂר פְּעָמִים תַּכְלִימוּנִי' (איוב יט, ג)". גם האברבנאל כותב [1] שהמספר עשר מציין ריבוי: "וינסו אותי זה עשר פעמים, שהמספר הזה מורה על הריבוי, ועל כל זה לא שמעו בקולי ולא האמינו בי" (שם). גם הרד"ק בספר השורשים [2] מציין שהמספר עשר מציין ריבוי:  "ולפי שהעשרה הוא סוף החשבון וכולל כל חשבון, יבא פעמים לסך חשבון ואינו רוצה בו חשבונו לבד, כמו 'זֶה עֶשֶׂר פְּעָמִים תַּכְלִימוּנִי' (איוב יט, ג), 'וְאָפוּ עֶשֶׂר נָשִׁים' (ויקרא כו, כו), 'מֵעֲשָׂרָה שַׁלִּיטִים' (קהלת ז,יט) , 'כִּי עַתָּה כָמֹנוּ עֲשָׂרָה אֲלָפִים' (שמואל ב יח, ג)".  מכאן שהמספר עשר במקרא, בגלל שהוא המספר הראשון עם ספרת העשרות, פעמים שהוא מציין ריבוי ולאו דווקא את המספר עשר [3]. בשורות הבאות נעסוק בשיטה העשרונית.

השיטה העשרונית היא שיטה מבוססת מיקום להצגת מספרים (שלמים, ובהרחבה גם ממשיים), לפי בסיס 10. הבסיס המקובל לספירה הוא בסיס 10 (הבסיס העשרוני), המשתמש בספרות 0 עד 9. העיקרון בכל שיטת ספירה הוא שערכה של ספרה ברצף כלשהו של ספרות נקבע על פי המיקום שלה ברצף. לדוגמה, בבסיס העשרוני, אנו קוראים לספרה הראשונה משמאל לנקודה העשרונית ספרת האחדות, לשנייה ספרת העשרות, לשלישית ספרת המאות [4] וכו'. כשספרה זזה שמאלה היא שווה פי עשר. לדוגמא, נבדוק את המספר 623. פרוק מספר זה לספרותיו לפי משקליהן (מימין לשמאל), ייתן את הייצוג הבא:

1x3 + 10x2 + 100x6  = 623

שיטת ייצוג זו נראית כיום טבעית ופשוטה, מאחר שלאדם יש עשר אצבעות; ספירה תוך שימוש בעשרות, מאות ואלפים התקיימה עוד קודם לכן, כפי שמעידים שמות המספרים וכתיבתם במילים, לדוגמא: "וַיִּהְיוּ חַיֵּי שָׂרָה מֵאָה שָׁנָה וְעֶשְׂרִים שָׁנָה וְשֶׁבַע שָׁנִים" (בראשית, כג, א); "מֵהֹדּוּ וְעַד כּוּשׁ שֶׁבַע וְעֶשְׂרִים וּמֵאָה מְדִינָה", (מגילת אסתר, א, א). אך שיטה זו היא מבוססת-מיקום (פוזיציונלית) ובה מיקום הסיפרה קובע את חשיבותה (החזקה של 10 בה היא מוכפלת, כפי שהודגם לעיל), רעיון שאינו מובן מאליו.[5]

ערכי הספרות בשיטה העשרונית.
יוצר: Hr.hanafi.
מתוך ויקימדיה

צורת המיקום העשרונית מאפשרת כתיבה קלה של המספרים, תוך שימוש במעט סימנים. היא מקלה על פעולות החשבון בכתיבה במאונך. רוב שיטות הרישום האחרות, שהיו בשימוש לאורך ההיסטוריה (ביניהן ספרות מצריות, ספרות רומיות, וספרות עבריות) אינן מבוססות-מיקום, וביצוע חישובים אריתמטיים בעזרתן הוא מסובך בהרבה.

השיטה המשלבת שימוש בבסיס 10 עם חשיבות לפי מיקום הספרה במספר פותחה בהודו במאה ה-6. הערבים אימצו אותה והשתמשו בה החל במאה ה-9 בעקבות ספר שפרסם המתמטיקאי מוחמד אבן מוסא אל-ח'ואריזמי בשנת 825, שבו סקר את השיטה והשימוש בה. רבי אברהם אבן עזרא (1089-1164), ואחריו פיבונאצ'י (1170-1250) , הביאו את השיטה לאירופה, בה אומצה במהירות כתחליף לשיטה הרומית, וזכתה לשימוש נרחב במסחר ולאחר מכן במדע.

חיבורו של רבי אברהם אבן עזרא, "ספר המספר", פרש לראשונה את הצגתה של מערכת ספירה עשרונית תלוית-מיקום הכוללת את האפס ובכך קדם אבן עזרא לפיבונאצ'י, התורם העיקרי להפצת שיטה זו בעולם המערבי.  בספר זה מוסברים עקרונות אריתמטיים חשובים כגון ארבע פעולות חשבון, שברים, פרופורציות ושורשים ריבועיים. במקום הספרות ההודיות השתמש אבן עזרא באותיות העבריות א-ט, ואת האפס סימן בעיגול, וכינה אותו "גלגל". ספר מתמטי נוסף של אבן עזרא הוא "ספר האחד", העוסק בתכונות המספרים השלמים 1 עד 9, מנקודת מבטן של האריתמטיקה, הגאומטריה, האסטרולוגיה והמיסטיקה [6].

המספר עשר במקרא, פעמים שהוא מציין ריבוי, כי על פי השיטה העשרונית, המבוססת-מיקום, המספר עשר הוא המספר הראשון שנמצא במיקום העשרות, לאחר שתמו ספרות האחדות.

---

[1] שם בדיבור המתחיל תשובות לשאלות ט-י.

[2] ספר השורשים לרבי דוד בן יוסף קמחי הספרדי רד"ק ברלין, 1847, בערך "עשר".

[3] במאמר המוסגר, יש לציין שישנם מספרים נוספים בדברי חז"ל, המציינים ריבוי, כגון: 300, 500  (=ת"ק בגימטריא).

[4] בדומה, לספרה הראשונה מימין לנקודה העשרונית אנו קוראים ספרת העשיריות, לשנייה ספרת המאיות וכו'.

[5] "המכלול –אנציקלופדיה יהודית", בערך "השיטה  העשרונית".

[6] "המכלול –אנציקלופדיה יהודית", בערך "רבי אברהם אבן עזרא".

© כל הזכויות שמורות למחבר