מספרים אי רציונליים בפרשה ובחז"ל

 מאת: אורן סעיד

בפרשתנו מתוארת מבנה חצר המשכן. מתיאור שטח המשכן, אנו למדים על מהותם של המספרים האי-רציונאליים בדברי חז"ל.

בפרשתנו אנו קוראים על מבנה חצר המשכן. מידות חצר המשכן הן: "אֹרֶךְ הֶחָצֵר מֵאָה בָאַמָּה וְרֹחַב חֲמִשִּׁים בַּחֲמִשִּׁים, וְקֹמָה חָמֵשׁ אַמּוֹת שֵׁשׁ מָשְׁזָר וְאַדְנֵיהֶם נְחֹשֶׁת (שמות כז, יח). אורך החצר 100 אמה ורחבה 50 אמה. סה"כ שטח של 5000 אמות מרובעות (5000 = 50X100). שטח זה נקרא בלשון חז"ל "בית סאתיים", הוא שטח של שני "בית סאה". "בית סאה" הוא שטח שאפשר לזרוע בו סאה תבואה בלבד ושטחו 2500 אמות מרובעות.

המשכן עמד בחציה המערבי של החצר, והיה מרחק מקרשי המשכן עד לעמודי החצר עשרים אמות לצפון וכן לדרום וכן למערב; ובחמישים אמות המזרחיות של החצר היו המזבח החיצון והכיור.

המשנה במסכת עירובין דנה, בבית סאתיים שצורתו ריבוע, כלומר, שאורכו שווה לרוחבו: "ועוד אמר רבי יהודה בן בבא: הגנה והקרפף שהן שבעים אמה ושיריים על שבעים אמה ושיריים, מוקפת גדר גבוה עשרה טפחים, מטלטלין בתוכה, ובלבד שיהא בה שוֹמֵרָה  [סוכת שומרים] או בית דירה, או שתהא סמוכה לעיר" (פרק ב משנה ה).  בבית סאתיים שצורתו ריבוע, אורך צלע הריבוע הוא באורך 70 אמה ושיריים. כמה הם ה"שיריים"? לדעת רוב המפרשים (רש"י, ברטנורא) הם שני שלישי אמה. הגמרא לומדת זאת מהפסוק המתאר את מידות חצר המשכן שהבאנו לעיל: "אורך החצר מאה באמה ורחב חמישים בחמישים – אמרה תורה: טול חמישים וסבב חמישים" (עירובין כג, עב). כלומר, טול חמישים אמה שיש כאן, מהאורך שגדול מהרוחב, וסבב את חמישים האמה הנותרות עד שיגיעו לצורת ריבוע שצלעו שבעים אמה ושיריים.

ברם, אם נחשב את השטח של ריבוע שצלעו ⅔70 אמות נמצא ששטחו: 4993⁷⁄₉ אמות, והרי הפרש של 6 אמות ו²⁄₉ האמה מ-5000 אמה. ואכן בגמרא נאמר: "רבי יהודה אומר: דבר מועט יש על שבעים אמה ושיריים ולא נתנו חכמים בו שיעור" (שם). כלומר, שהשיעור של ⅔70 אינו מדוייק, אלא מקורב. הרמב"ם בפירושו למשניות נותן שיעור מדוייק יותר לצלע ריבוע ששטחו 5000 אמה: שטח ריבוע שצלעו 70 אמה ו⁵/₇ האמה הוא, ½5000 בקירוב.

מדוע חכמינו לא נתנו לנו שיעור מדוייק לחלוטין, לצלע של ריבוע ששטחו 5000 אמה, אלא רק קירובים?

למעשה לא ניתן להגיע לקביעת גודל מדוייק לחלוטין, מכיוון שמספר זה – שורש של 5000 - הוא אי-רציונאלי. כלומר, כלומר זהו מספר שאינו שלם וגם לא ניתן להציגו כשבר, כמנה של מספרים שלמים. אם מנסים לבטא מספר אי-רציונאלי בצורה עשרונית מקבלים רצף של ספרות שנמשך עד אינסוף, בלא סדירות ובלא תבנית קבועה. לדוגמא, אם ננסה לבטא את 5000√ בצורה עשרונית נקבל

5000√ = ...70.71067811865475244008443 . כלומר לעולם לא נוכל לכתוב את המספר בצורה מפורשת, אלא רק אומדן של המספר !

ואכן כך כותב הרמב"ם (שם): "אבל שטח מרובע בעל זוויות ישרות, שתשבורתו [שטחו] חמשת אלפים אמה, אי אפשר לדעת צלע אותו השטח אלא בקירוב, לפי שחמשת אלפים הוא מספר שאין לו שורש, ושרשו בקירוב שבעים אמה וחמש שביעיות אמה. והעניין במספר הזה כמו שביארתי לך למעלה (פרק א משנה ה) ביחס קוטר העגול להיקפו, לפי שגם הוא אי אפשר לעולם להגיע לידיעת שורש המספר "אלצם" [מספר שאי אפשר לדייק שרשו, מעין עקשן, בלתי נשמע (ע"פ פירושו של הרב יוסף קאפח)] שלו אלא בקירוב; ואין זה מחמת חסרונינו, אלא שטבע המספר כך..."[1].

דגם המשכן של מיכאל אוסניס מקדומים
מתוך ויקיפדיה

בפרק השישי של החיבור "משנת המידות"[2], ישנה הוכחה, על ידי חישוב מסובך, שהאורך של הבריח התיכון של המשכן היה 70.7+1/120 אמות, וזהו השורש המרובע המקורב של 5000, הוא שטח חצר המשכן באמות מרובעות. בלשון החיבור:
"נמצא מקום אורך הבריח התיכון שבעים אמה ושירַיִם והוא עיקר חמשת אלפים אמה ואינו יוצא בחשבון". כלומר העיקר, בלשוננו השורש, של 5000 הוא מספר אי-רציונאלי (אינו יוצא בחשבון), והסיכום:

"הא למדת מידת עיקר מן התורה"   - כלומר התורה רמזה לשורש מרובע של 5000!
ואמנם קשה לראות מהו הקשר בין אורך הבריח התיכון לשטח חצר המשכן.

ישנם עוד שני מספרים אי רציונאליים מפורסמים, בהם נעסוק בקצרה.

המספר 2√

בתלמוד בבלי מסכת סוכה נאמר: "כל אמתא בריבועא, אמתא ותרי חומשי באלכסונא" (סוכה ח, א). אורך האלכסון בריבוע שצלעו אמה, הוא  1²⁄₅ אמות (1.4). כלל זה הוא קירוב לשיעור המדוייק של 2√. ואמנם כבר התוספות במקום העירו: "אין החשבון מכוון ולא דק, דאיכא טפי פורתא" (שם, ד"ה כל אמתא). כלומר, הערך המובא בגמרא לאורך האלכסון בריבוע שצלעו אמה אחת, הוא מקורב, וערכו הוא קצת גדול יותר מהערך המובא בגמרא: ... 1.4142135623=√2

גם כאן, למעשה לא ניתן להגיע לגודל מדוייק לחלוטין, מכיוון ש-2√ הוא מספר אי-רציונאלי. כתיבת √2 בצורת שבר עשרוני היא אינסופית, ולכן לא ניתן להגיע לשיעור מדוייק לחלוטין של ערך זה. כבר האבן עזרא כתב שלא ניתן להגיע לשיעור מדוייק של שורש שנים: "הנה דבר קל, והוא לדעת שורש שנים הנקרא גדר, אין כוח לאדם לדעתו" (שמות כג, כ).

בשנת 1996 הערך של  √2 חושב ל-137,438,953,444 (כ-137.4 מיליארד) מקומות אחרי הנקודה העשרונית. בשנת 2006 נשבר השיא של חישוב ספרות לאחר הנקודה של השורש הריבועי של 2 והגיע ל-200 מיליארד ספרות לאחר הנקודה[3].

המספר Π (פאי)

הגמרא במסכת עירובין אומרת: "כל שיש בהיקפו שלושה טפחים, יש בו רוחב טפח" (עירובין יד, א). כלומר היחס בין היקף עיגול לקוטרו הוא 3. רבי יוחנן לומד זאת מפסוק בספר מלכים, המתאר את  ה"ים של שלמה" (מיכל מים גדול שעשה שלמה המלך בבית המקדש הראשון): " וַיַּעַשׂ אֶת הַיָּם, מוּצָק:  עֶשֶׂר בָּאַמָּה מִשְּׂפָתוֹ עַד שְׂפָתוֹ עָגֹל סָבִיב, וְחָמֵשׁ בָּאַמָּה קוֹמָתוֹ, וקוה (וְקָו) שְׁלֹשִׁים בָּאַמָּה, יָסֹב אֹתוֹ סָבִיב" (מלכים א, ז, כג). הרי שהיקף של ה"ים" היה  30 אמות וקוטרו 10 אמות. הרי שההיקף גדול פי 3 מהקוטר.

היחס בין היקף המעגל לקוטרו מסומן באות היוונית Π (פאי).  ערכו המקורב הוא: 3.14159. זהו מספר אי-רציונאלי ולכן כתיבתו בצורת שבר עשרוני היא אינסופית, ולכן לא ניתן להגיע לשיעור מדוייק לחלוטין של ערך זה.   כבר הרמב"ם ציין שמספר זה לא ניתן לחישוב מדוייק: "צריך אתה לדעת שיחס קוטר העיגול להקפו בלתי ידוע, ואי אפשר לדבר עליו לעולם בדיוק, ואין זה חסרון ידיעה מצידנו כמו שחושבים הסכלים, אלא שדבר זה מצד טבעו בלתי נודע ואין במציאותו שיודע"[4] (פירוש המשניות עירובין, א, ה). בהמשך דבריו הוא מציין קירוב מדוייק יותר ממה שהובא בגמרא, ליחס בין היקף העיגול לקוטרו: ²²/7.

גם האבן עזרא כותב שמספר זה לא ניתן לחישוב מדוייק: "גם בחכמת המידות יש מחלוקת לדעת חוט הסובב, ואין מי יתן ראיה גמורה עד שתתברר האמת" (שמות כג, כ).

 כיום  הצליחו באמצעות מחשבים חזקים, לחשב את ערכו של פאי  ליותר מעשר טריליון ספרות (1 טריליון=1,000,000,000,000) אחרי הנקודה העשרונית[5] !

---

[1]חכמינו ידעו שיש קירוב טוב יותר לשורש של 5000, אלא שהלכה למעשה, הם הורו לנו מידות ושיעורים שאנו נוכל להשתמש, ליישם ולמדוד בקלות מבלי להיזקק לאמצעים מתקדמים או לטכניקות מסובכות למדידת השטח של בית סאתיים שצורתו ריבוע. ולכן הפרשנים דלעיל השתמשו בערכים מקורבים כמו: ⅔70.

[2] מכונה גם מ"ט דמידות, ומזכירים אותו רש"י, אבן עזרא, תוספות ועוד. נכתב במאות הראשונות לספירה. לא ידוע בוודאות מי חיברו. ראה גם בהמכלול – האנצ' היהודית בערך "משנת המידות".

[3] ע"פ המכלול – האנצ' היהודית בערך "השורש הריבועי של 2".

[4]   גישה זאת מקדימה את זמנה בכשש מאות שנים (!), כיוון שהעובדה שהמספר Π אינו רציונאלי הוכחה ע"י המתמטיקאי למברט רק במאה הי"ח לספירה המקובלת. יש לציין ש"חשדות" שהמספר הנדון אינו רציונאלי היו קיימים גם בקרב מתמטיקאים מוסלמים בני תקופתו של הרמב"ם, כמו אל-בירוני, אולם אף אחד מהם לא מביע דעה נחרצת כל כך בנדון. להרחבה על דיוק פאי במקורות היהדות ראה מאמרם של בועז צבאן ודוד גרבר, אונ' בר אילן,  "ערכים מדוייקים של פאי במקורות היהדות".

[5] ראה בויקיפדיה האנגלית בערך "pi" (פאי).

© כל הזכויות שמורות למחבר